исследовать ряд на сходимость

[T-Mac]

понятно далеко не все поэтому я начну по порядку

$$[0;a] , a>1$$

$$sup_{[0;a]} |\sum\frac{sinx^n}{n^x}| \leq\ sup_{[0;a]} \sum\frac{x^n}{n^x}$$

а дальше как оценивать ?

[AD]

T-Mac, а давайте учиться писать красиво!
Пора уже, 176 сообщений как-никак.

$$\sup\limits_{[0;a]}\left|\sum\frac{\sin x^n}{n^x}\right| \leq\sup\limits_{[0;a]} \sum\frac{x^n}{n^x}$$

$$\sup\limits_{[0;a]}\left|\sum\frac{\sin x^n}{n^x}\right|\leq\sup\limits_{[0;a]}\sum\frac{x^n}{n^x}$$

[ewert]

А равномерна ли сходимость вблизи минус единицы?

[gris]

Дальше?

$$\sup\limits_{[0;a]}\left|\sum\frac{\sin x^n}{n^x}\right|\leqslant\sup\limits_{[0;a]}\sum\frac{x^n}{n^x}\leqslant\sum a^n$$

-сходящаяся геометрическая прогрессия.

PSe И не заметил, что написано $a>1$, а не $a<1$. Даже не подумал, что так возможно написать, после всего, что мы говорил о точке $x=1$. Если это не описка, тогда я уж и не знаю.
Насчёт отрицательных иксов строго чего-то никак.

[ewert]

T-Mac в сообщении #281763 писал(а):

понятно далеко не все поэтому я начну по порядку

$$[0;a] , a>1$$

$$sup_{[0;a]} |\sum\frac{sinx^n}{n^x}| \leq\ sup_{[0;a]} \sum\frac{x^n}{n^x}$$

а дальше как оценивать ?

Дальше -- оценить, просто выкинув знаменатель.

Но это полезно лишь при иксах, меньших единицы. А при больших единицы надо, наоборот, выкидывать числитель.

[T-Mac]

Это описка конечно..извените
при иксах от нуля до а - понятно
осталось при

$$[a;b], a>1 $$

что тут делать пока то же не ясно....

[T-Mac]

если пробовать по коши то получаем что исходный ряд не больше чем

$$\sum\frac{1}{n^a}$$

хочеться сказать что это меньше эпсилон...но я чего то не уверен в правильности

-- Ср янв 20, 2010 15:52:17 --

не это не правильно - я уже понял...

[T-Mac]

не, тут вроде все правильно ряд сходиться из предыдущего поста

[T-Mac]

теперь разбираюсь со следующим рядом...

$$ \sum \frac{ln(1+n^x)}{n^x} $$

поточечная сходимость :
при х >1 cходиться , при меньших - ряд расходиться
Это правильно?
равномерная сходимость
на отрезке [a,b] есть , если a>2, при а>1 не понял как делать...
на луче то же не понятно ...

[ewert]

T-Mac в сообщении #282774 писал(а):

теперь разбираюсь со следующим рядом...

$$ \sum \frac{ln(1+n^x)}{n^x} $$

поточечная сходимость :
при х >1 cходиться , при меньших - ряд расходиться
Это правильно?

В принципе да; только что будет в самой единице?...

Равномерность можно, например, так: доказать отдельно для $x\in[a;3]$ при фиксированном $a>1$ и отдельно для $x\in[3;+\infty)$. Там понадобятся оценки одного типа, но всё же разные. На первом промежутке разбейте знаменатель на множители $n^{1+\delta}$ и $n^{x-1-\delta}$, где $a\equiv1+2\delta$ (первый множитель обеспечит сходимость, а второй равномерно убьёт логарифм). На втором промежутке -- с той же целью записать знаменатель просто как $n^x=n^{x\over2}\cdot n^{x\over2}$.

(Впрочем, первое разбиение сработает и на всём $[a;+\infty)$, только там оценка чуть менее очевидна.)

[T-Mac]

Цитата:

только что будет в самой единице?...

в единице сходимости нет