Оператор лапласа от вектора (тензора)

[AlexeY-AY]

Есть определение оператора векторного лапласа

$\Delta\mathbf{v} = g^{ij}\nabla_i\nabla_j \mathbf{v}$
где $g_{ij}$ - метрический тензор, $\nabla_i$ - ковариантная производная. Рассматриваем гладкое риманово многообразие, ориентированное если надо.

Пусть размерность 2 или 3. Во всех "простецких" материалах по диф.геометрии пишут, что векторный лаплас равен

$\Delta_1\mathbf{v}=\nabla \mathrm{div}\mathbf{v} - \mathrm{rot}\mathrm{rot}\mathbf{v}$
т.е. дают другое определение.

То, что $\Delta_1 \mathbf{v} = \Delta \mathbf{v}$ если метрика евклидова --- очевидно. Меня интересует, совпадают ли эти два определения для любой метрики.
Кто-нибудь что-нибудь про это слышал? Пытался это вывести самостоятельно (выписывая ковариантные производные), но че-то там слишком "дикие" формулы получаются. М.б. у меня техники не хватает, и это можно просто доказать. И даже если не просто, то где это можно узнать?

Заранее спасибо.

[Gafield]

Оператор Лапласа на дифференциальных формах в инвариантном виде: $\Delta=d*d*+*d*d$. В евклидовом пространстве $\mathbb R^3$ звездочка переводит скалары в скаляры (0-формы $\leftrightarrow$ 3-формы), а векторы в векторы (1-формы $\leftrightarrow$ 2-формы). Дифференциал от 1-формы это ротор, от 2-формы - дивергенция. Вот формула и получается применением к 1-форме. Посмотреть диф. формы, оператор $*$ и формулу для $\Delta$ можно во многих книжках по дифференциальной геометрии, напр., Уорнер.

[AlexeY-AY]

Спасибо за ответ. И на сколько я понял, то выражение
$\Delta=g^{ij}\nabla_i\nabla_j$

также вытекает из инвариантной формы d*d* + *d*d ?

[terminator-II]

некоторые нюансы. операции *,rot это всетаки не тензорные операции, они переводят тензоры в псевдотензоры. другое дело, что когда звездочек и роторов несколько штук то псевдотензорность компенсируется.

[Gafield]

AlexeY-AY в сообщении #281527 писал(а):

И на сколько я понял, то выражение
\Delta=g^{ij}\nabla_i\nabla_j
также вытекает из инвариантной формы d*d* + *d*d ?

Вытекает, как-нибудь, несомненно Только дифференциальные 1-формы это ковекторы. Так что надо опустить индексы у векторов с помощью метрики, воспользоваться формулой, а потом поднять.

[AlexeY-AY]

Gafield в сообщении #281610 писал(а):

AlexeY-AY в сообщении #281527 писал(а):

И на сколько я понял, то выражение
$\Delta=g^{ij}\nabla_i\nabla_j$
также вытекает из инвариантной формы d*d* + *d*d ?

Вытекает, как-нибудь, несомненно Только дифференциальные 1-формы это ковекторы. Так что надо опустить индексы у векторов с помощью метрики, воспользоваться формулой, а потом поднять.

Поэтому я и решил спросить здесь на форуме, чтобы не возиться с дифференциальными формами . И выписал две формулы для оператора Лапласа в тензорной форме. Если обе формулы задают один и тот же оператор, то все в порядке.

terminator-II в сообщении #281562 писал(а):

некоторые нюансы. операции *,rot это всетаки не тензорные операции, они переводят тензоры в псевдотензоры. другое дело, что когда звездочек и роторов несколько штук то псевдотензорность компенсируется.

в данном случае, когда я писал оператор ротора, то я имел в виду конкретный тензорный оператор, точнее оператор переводящий вектор в вектор (для $\mathbb{R}^3$) и операторы переводящие вектор в скаляр и скаляр в вектор (для $\mathbb{R}^2$). $\nabla_i$ --- это наверное правильнее называть связностью, согласованной с метрикой.
Наверное вы имели в виду операторы "*" и "d"?

[terminator-II]

AlexeY-AY в сообщении #281698 писал(а):

в данном случае, когда я писал оператор ротора, то я имел в виду конкретный тензорный оператор, точнее оператор переводящий вектор в вектор (для \mathbb{R}^3)

вот это неверно: rot переводит вектор в аксиальный вектор

AlexeY-AY в сообщении #281698 писал(а):

\nabla_i --- это наверное правильнее называть связностью, согласованной с метрикой.
Наверное вы имели в виду операторы "*" и "d"?

_________________

еще раз: * переводит тензор в псевдотензор; а d и $\nabla$ это настоящие тензорные операции они переводят тензор в тензор

[AD]

AlexeY-AY, доллары ставить обязательно, теги math - нет.
Отредактировал несколько Ваших сообщений.

[AlexeY-AY]

terminator-II в сообщении #281702 писал(а):

AlexeY-AY в сообщении #281698 писал(а):

в данном случае, когда я писал оператор ротора, то я имел в виду конкретный тензорный оператор, точнее оператор переводящий вектор в вектор (для \mathbb{R}^3)

вот это неверно: rot переводит вектор в аксиальный вектор

Тогда пишу то, что я имел в виду под роторами (для трехмерного случая):
$(\mathrm{rot} \mathbf{v})^i\partial_i = \varepsilon^{ijk}\partial_i(g_{jl}v^l)\partial_k \equiv \varepsilon^{ijk}\nabla_i(g_{jl}v^l)\partial_k$
вот формальное определение, которое я имел в виду в той формуле, которую я выписал. И именно его я имел в виду, а не какой-то "другой" ротор, который, возможно, и не равен этому. Чем это не вектор? ($\varepsilon$ - дискриминантный тензор)
Для двумерного случая можно выписать аналогично.
И всякие смены ориентации пока не рассматриваем. Поэтому аксиальность пока мало волнует. Мне главное было понять тождественность двух записей оператора Лапласа в криволинейных координатах.

AD в сообщении #281717 писал(а):

AlexeY-AY, доллары ставить обязательно, теги math - нет.
Отредактировал несколько Ваших сообщений.

P.S. да, спасибо за доллары, не заметил, что math не работает.. Интересно, почему тогда в превью все смотрелось?

-- Ср янв 20, 2010 01:07:14 --

Да, и сразу вопрос в догонку: если на многообразии зафиксиррована ориентация, то вопрос с аксиальностью снимается?

[terminator-II]

AlexeY-AY в сообщении #281781 писал(а):

гда пишу то, что я имел в виду под роторами (для трехмерного случая):
$(\mathrm{rot} \mathbf{v})^i\partial_i = \varepsilon^{ijk}\partial_i(g_{jl}v^l)\partial_k \equiv \varepsilon^{ijk}\nabla_i(g_{jl}v^l)\partial_k$

да знаю я , что Вы имели ввиду

AlexeY-AY в сообщении #281781 писал(а):

Чем это не вектор?

вот этим самым:

AlexeY-AY в сообщении #281781 писал(а):

$\varepsilon$ - дискриминантный тензор)

Я думаю, что Вам надо почитать раздел про тензоры в учебнике Ефимова Розендорна по линейной алгебре и многомерной геометрии. И особенно обратить внимание на главу, где обсуждаются псевдотензоры , аксиальные векторы и т.п. Роторов там нет т.к. это учебник по линейке. Про ротор коротко говорится в учебнике Дубровина Новикова Фоменко Современная геометрия. Но что б разобраться с псевдотензорами как следует нужен именно Ефимов Розендорн.
Выписывать сюда всю эту теорию с формулами, извините, утомительно. Я просто обратил Ваше внимание -- разбирайтесь.

[terminator-II]

AlexeY-AY в сообщении #281781 писал(а):

Да, и сразу вопрос в догонку: если на многообразии зафиксиррована ориентация, то вопрос с аксиальностью снимается?

да снимается

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники Научного Форума!

AlexeY-AY в сообщении #280889 писал(а):

Во всех "простецких" материалах по диф.геометрии пишут, что векторный лаплас равен
$\Delta_1\mathbf{v}=\nabla \mathrm{div}\mathbf{v} - \mathrm{rot}\mathrm{rot}\mathbf{v}$

terminator-II в сообщении #281702 писал(а):

rot переводит вектор в аксиальный вектор

paha в сообщении #387959 писал(а):

градиент скалярной функции -- не вектор.

С этим утверждением большинство участников обсуждения согласились, хотя оно противоречит тому, что написано во всех учебниках.
В таком случае, скажите, пожалуйста, что собой представляет векторный лаплас и rot rot и требуются ли в этой связи изменения в "простецких" материалах?

С уважением и благодарностью всем, кто даст разъяснение для непрофессионалов, Александр Козачок

[Munin]

Александр Козачок в сообщении #401014 писал(а):

С этим утверждением большинство участников обсуждения согласились, хотя оно противоречит тому, что написано во всех учебниках.

Вы, как всегда, пишете про "все учебники", хотя реально ссылаетесь только на несколько самых неподходящих. Когда вы научитесь быть скромнее?

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники Научного Форума!

Munin в сообщении #401050 писал(а):

Вы, как всегда, пишете про "все учебники", хотя реально ссылаетесь только на несколько самых неподходящих. Когда вы научитесь быть скромнее?

Большое Вам Спасибо, что откликнулись!
Я в первую очередь имел в виду вот эти учебники:
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 974ru.djvu
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 970ru.djvu
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 941ru.djvu
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 966ru.djvu
и много других, но не нашел ни одного учебника, где написано, что градиент скалярной функции -- не вектор. Поэтому я буду весьма признателен, если Вы приведете ссылку в Интернете на такой учебник, и сформулируете свою позицию по вопросу

Александр Козачок в сообщении #401014 писал(а):

В таком случае, скажите, пожалуйста, что собой представляет векторный лаплас и rot rot

в формуле

$\Delta_1\mathbf{v}=\nabla \mathrm{div}\mathbf{v} - \mathrm{rot}\mathrm{rot}\mathbf{v}$

если градиент скалярной функции -- не вектор.

С уважением,
Александр Козачок

[Munin]

Александр Козачок в сообщении #401134 писал(а):

Я в первую очередь имел в виду вот эти учебники:http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 974ru.djvuhttp://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 970ru.djvuhttp://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 941ru.djvu http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 966ru.djvuи много других

Вместо того, чтобы давать ссылки на DjVu-файлы, надо было просто назвать их по авторам.

Александр Козачок в сообщении #401134 писал(а):

но не нашел ни одного учебника, где написано, что градиент скалярной функции -- не вектор.

Вот именно так вы и должны были задать вопрос: "в каких учебниках написано, что градиент скалярной функции - не вектор?" И в ответ на так сформулированный вопрос - вам бы сразу привели каждый из участников обсуждения как минимум по учебнику, по которому он сам учился.