Преобразование несобственного интеграла

[trostewus]

Подскажите, пожалуйста, как можно показать, что $\[\int\limits_x^\infty {dt} \int\limits_t^\infty {O(\frac{1}{{{x^2}{{(\ln s)}^{1 + k}}}})} ds = O(\frac{1}{{{{(\ln x)}^k}}})\]$, $\[k > 0\]$

[ewert]

Поменять порядок интегрирования:

$$\int_x^{+\infty}dt\int_t^{+\infty}f(s)\,ds=\int_x^{+\infty}f(s)\,ds\int_x^sdt\leqslant\int_x^{+\infty}s\,f(s)\,ds.$$

[trostewus]

А можно поподробнее, почему пределы интегрирования поменялись на от $\[x\]$ до $\[s\]$?...

[ewert]

Нарисуйте на плоскости $(t,s)$ область интегрирования для исходного повторного интеграла в соответствии с его пределами. А потом расставьте пределы по этой области для противоположного порядка интегрирования.

[trostewus]

Спасибо большое!..