Аналог теоремы о промежуточных значениях для производной.

[bull_mipt]

Помогите, пожалуйста, разобраться как решать.

Функция $\[f:(a,b) \to R\]$ имеет производную на $\[(a,b)\]$.

Доказать, что $\[\forall x_1 ,x_2 \subset (a,b),x_1 < x_2 ,\forall C \in (f'(x_1 ),f'(x_2 ))\]$
$\[\exists x_0 \in (x_1 ,x_2 ):f'(x_0 ) = C\]$.

Производная функции не является непрерывной!

[gris]

А при чём тут непрерывность производной? Она может быть и разрывной у дифференцируемой всюду функции.

[AD]

Это теорема Дарбу называется, если что. Доказательство лень вспоминать, там что-то типа "вычтем $Cx$ и возьмем максимум непрерывной функции, в нем производная ноль".

[gris]

Она в Фихтенгольце доказывается. Том 1 пункт 110. Принимая все промежуточные значения, производная может и не быть непрерывной. Это классический пример $f(x)=x^2\sin\dfrac1x$ в нуле.
Хотя Вы и восклицали именно поэтому?

Чо то вспомнилась всюду разрывная функция, взаимно однозначно отображающая отрезок на себя.