Она в Фихтенгольце доказывается. Том 1 пункт 110. Принимая все промежуточные значения, производная может и не быть непрерывной. Это классический пример

в нуле.
Хотя Вы и восклицали именно поэтому?

Чо то вспомнилась всюду разрывная функция, взаимно однозначно отображающая отрезок на себя.