2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Аналог теоремы о промежуточных значениях для производной.
Сообщение17.01.2010, 18:56 
Помогите, пожалуйста, разобраться как решать.

Функция $\[f:(a,b) \to R\]$ имеет производную на $\[(a,b)\]$.

Доказать, что $\[\forall x_1 ,x_2  \subset (a,b),x_1  < x_2 ,\forall C \in (f'(x_1 ),f'(x_2 ))\]$
$\[\exists x_0  \in (x_1 ,x_2 ):f'(x_0 ) = C\]$.

Производная функции не является непрерывной!

 
 
 
 Re: Аналог теоремы о промежуточных значениях для производной.
Сообщение17.01.2010, 19:30 
Аватара пользователя
А при чём тут непрерывность производной? Она может быть и разрывной у дифференцируемой всюду функции.

 
 
 
 Re: Аналог теоремы о промежуточных значениях для производной.
Сообщение17.01.2010, 19:33 
Это теорема Дарбу называется, если что. Доказательство лень вспоминать, там что-то типа "вычтем $Cx$ и возьмем максимум непрерывной функции, в нем производная ноль".

 
 
 
 Re: Аналог теоремы о промежуточных значениях для производной.
Сообщение17.01.2010, 19:45 
Аватара пользователя
Она в Фихтенгольце доказывается. Том 1 пункт 110. Принимая все промежуточные значения, производная может и не быть непрерывной. Это классический пример $f(x)=x^2\sin\dfrac1x$ в нуле.
Хотя Вы и восклицали именно поэтому? :)

Чо то вспомнилась всюду разрывная функция, взаимно однозначно отображающая отрезок на себя.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group