Интересная задача на доказательство существования предела.

[bull_mipt]

Функция $\[f \in C_{[0, + \infty )}\]$ такова, что $\[\forall a > 0:f(na) \to 0,n \to \infty\]$. Доказать, что $\[f(x) \to 0,x \to + \infty\]$.

Т.е. получается для непрерывной функции достаточно для существования предела показать существование предела по некоторым частным видам последовательности Гейне.

[id]

Занятная.
Есть такая лемма:

Цитата:

Если $\{G_{\alpha}\}_{\alpha=1}^{\infty}$ - набор открытых, неограниченных сверху подмножеств $\mathbb{R}$. Тогда $\exists x_0>0$ такое, что каждое $G_m$ содержит бесконечно много точек вида $nx_0, n \in \mathbb{N}$

С ее использованием задача тривиальна.

[bull_mipt]

А откуда эта лемма, подскажите.

[id]

Макаров, Голузина "Избранные задачи по вещественному анализу", задача 1.28 или около того.