Компакт, неизмеримый по Жордану

[passs]

Указать в $\mathbb R^2$ компакт, неизмеримый по Жордану.

[Полосин]

См., например, Гелбаум, Олмстед. Контримеры в анализе.

[AD]

Дык можно и в $\mathbb{R}^1$. Канторово множество положительной меры само является своей границей.
Потом декартово множим на единичный отрезок - вот и в $\mathbb{R}^2$.

А сразу для $\mathbb{R}^2$ существенно проще?

[id]

AD
В Контрпримерах этот примерчик тоже есть, Вы угадали.

Хм, интересно, а швейцарский сыр подойдет в к-ве примера неизмеримого по Жордану, связанного, нигде не плотного компакта?

То есть надо бы стандартное построение сыра изменить так, чтобы получалась положительная мера Лебега, но с сохранением нигде не плотности ( тогда, ясное дело, измеримости по Жордану не будет ).

[AD]

Цитата:

Хм, интересно, а швейцарский сыр подойдет в к-ве примера неизмеримого по Жордану, связанного, нигде не плотного компакта?

А что это такое?

А он действительно нигде не плотный компакт? Тогда его измеримость по Жордану равносильна положительности его меры Лебега по тем же причинам. upd: А, Вы уже это тоже заметили

Но связности можно и проще добиться - скажем, "зачеркнув" предыдущий пример отрезком.

[id]

AD
Из единичного замкнутого диска вырезаются открытые кружки меньшего радиуса так, чтобы сохранить связанность. Вырезаются до тех пор, пока можно вырезать кружок.

Увы, гугл по запросу "швейцарский сыр" выдает совсем не то.

[AD]

id в сообщении #281112 писал(а):

То есть надо бы стандартное построение сыра изменить так, чтобы получалась положительная мера Лебега, но с сохранением нигде не плотности

Вот через полчаса дошло, что это интересно ведь ... Раз уж швейцарский сыр - это нечто настолько глубоко трансфинитное, то отделаться фразой "стандартно убавим кружочки" может и не выйдет ...

[id]

Не могу найти точное описание построения ( я его встречал только в паре каких-то примерчиков и книге Гамелина по равномерным алгебрам ), а поисковики что-то не помогают; может, кто-нибудь знает?

Может, его и удалось бы видоизменить для решения задачи.

-- Вс янв 17, 2010 01:13:05 --

Вот тут что-то, видимо, есть; только подписки у меня увы нет.

[ewert]

А чем (и зачем) швейцарский сыр отличается от ковра Серпинского?

[AD]

ewert в сообщении #281135 писал(а):

А чем (и зачем) швейцарский сыр отличается от ковра Серпинского?

Тем, что ясно, что если вот взять так и начать вырезать кружочки один за другим заранее заготовленного радиуса, то боюсь, что дойдя до бесконечности, мы еще не закончим.

То есть каждому трансфинитному числу $\xi$ надо ставить в соответствие последовательность кружочков $B_{r_\xi}(x_\xi)$ (то есть переходя к каждому "следующему" числу (т.е. не предельному) мы выкидываем еще один кружочек; на предельных просто аккуратно пересекаем множества, чтобы было понятно, что осталось), и ясно, что не доходя до первого несчетного трансфинита процесс остановится, потому что несчетное число кружочков выкинуть нельзя. Но когда именно оно остановится - не поймёшь, поэтому никакая заранее заготовленная последовательность [верхних оценок] радиусов не годится.

^^ утверждение, выделенное зеленым , мне и интересно, в смысле не знаю, верно ли оно. Ну то есть так выглядит: существует ли последовательность положительных чисел $\{r_\xi\}$ типа $\Omega\ni\xi$ (ну это первый несчетный трансфинит я так обозначил), такая, что для любого $\alpha\in\Omega$ $\sum\limits_{\xi=0}^{\alpha}r_\xi<1$.

И вообще, я тут может кучу глупостей написал, потому что трансфинитную индукцию только на пальцах понимаю . Еще ясно, что тут очень жестоко эксплуатируется аксиома выбора, потому что мы бесконечно много раз лепим кружочки "как попало". Короче, мне тоже помогите разобраться, пожааалуйста

[ewert]

AD в сообщении #281138 писал(а):

боюсь, что дойдя до бесконечности, мы еще не закончим.

Не закончим что?

(мне просто непонятна цель этого построения, не говоря уж о самом построении: чего и зачем мы добиваемся?)

[AD]

ewert в сообщении #281139 писал(а):

Не закончим что?

id в сообщении #281117 писал(а):

Вырезаются до тех пор, пока можно вырезать кружок.

Ну выкинули мы счетное число кружочков - а вдруг еще кружочки остались?

[ewert]

Т.е.: можно ли придумать процедуру, при которой они останутся?

Ну, может, и можно. А зачем?

Во всяком случае, можно выкидывать так, что ничего (в смысле ни одного кружочка) не останется. Очевидным образом: вписывать по кружочку в каждый из оставшихся треугольничков текущего уровня. Правда, мера при этом, скорее всего, будет стремиться к нулю, но это уже следующий вопрос.

Главное, что непонятно: зачем? почему свет клином сошёлся именно на кружочках? чем те же квадратики нехороши, скажем?...

[AD]

ewert в сообщении #281142 писал(а):

Очевидным образом: вписывать по кружочку в каждый из оставшихся треугольничков текущего уровня.

Ну мы круг режем вроде как. Вы ничего не путаете?

ewert в сообщении #281142 писал(а):

Главное, что непонятно: зачем? почему свет клином сошёлся именно на кружочках? чем те же квадратики нехороши, скажем?...

Потому что круг не состоит из кружочков. Хотя квадрат состоит из квадратиков, а треугольник - из треугольничков. Ну то есть на самом деле потому, что я вот затрудняюсь явную процедуру указать.

ewert в сообщении #281142 писал(а):

Правда, мера при этом, скорее всего, будет стремиться к нулю, но это уже следующий вопрос.

Нет, это единственный вопрос

[ewert]

AD в сообщении #281143 писал(а):

Ну мы круг режем вроде как. Вы ничего не путаете?

Ну круг. И что?

Вписываем сначала в круг три одинаковых кружка -- и вырезаем их. Потом вписываем по кружку в каждый их четырёх оставшихся треугольников. И т.д.

На каждом шаге остаток состоит из конечного набора треугольников, каждый из которых ограничен тремя касающимися друг дружки окружностями. Надо ли доказывать, что в такой треугольник круг вписывается однозначно -- и что это круг максимально возможного радиуса?... А это и означает, что предельное множество нигде не плотно.