Inequality

[requferofile]

if k,m,n are real positive

prove that

$(k^{2009}+m^{2009}+n^{2009})^{\frac{1}{2009}}\leq (k^{2008}+m^{2008}+n^{2008})^{\frac{1}{2008}}$

[gris]

Может быть рассмотреть функцию $F(x,y,z,t)=(x^t+y^t+z^t)^{\frac1t}$ и найти частную производную по $t$?

[ewert]

requferofile в сообщении #280041 писал(а):

$(k^{2009}+m^{2009}+n^{2009})^{\frac{1}{2009}}\leq (k^{2008}+m^{2008}+n^{2008})^{\frac{1}{2008}}$

1) $\ \Leftarrow\quad (x^r+y^r+z^r)^{1/r}\leqslant x+y+z\ (\forall r\geqslant1),$
$\quad \text{if}\ x=m^{2008},\;y=k^{2008},\;z=n^{2008},\ \text{and}\ r={2009\over2008};$

2) $\ \Leftarrow\quad x^r+y^r\leqslant (x+y)^r,\ \text{and}\ u^r+z^r\leqslant (u+z)^r,\ \text{where}\ u=x+y;$

3) $\ \Leftarrow\quad t^r+(1-t)^r\leqslant1\ (\forall t\in[0;1]),\ \text{i.e. this function is convex}.$