2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Inequality
Сообщение13.01.2010, 11:52 
if k,m,n are real positive

prove that

$(k^{2009}+m^{2009}+n^{2009})^{\frac{1}{2009}}\leq (k^{2008}+m^{2008}+n^{2008})^{\frac{1}{2008}}$

 
 
 
 Re: Inequality
Сообщение13.01.2010, 12:23 
Аватара пользователя
Может быть рассмотреть функцию $F(x,y,z,t)=(x^t+y^t+z^t)^{\frac1t}$ и найти частную производную по $t$?

 
 
 
 Re: Inequality
Сообщение13.01.2010, 12:27 
requferofile в сообщении #280041 писал(а):
$(k^{2009}+m^{2009}+n^{2009})^{\frac{1}{2009}}\leq (k^{2008}+m^{2008}+n^{2008})^{\frac{1}{2008}}$

1) $\ \Leftarrow\quad (x^r+y^r+z^r)^{1/r}\leqslant x+y+z\ (\forall r\geqslant1),$
$\quad \text{if}\ x=m^{2008},\;y=k^{2008},\;z=n^{2008},\ \text{and}\ r={2009\over2008};$

2) $\ \Leftarrow\quad x^r+y^r\leqslant (x+y)^r,\ \text{and}\ u^r+z^r\leqslant (u+z)^r,\ \text{where}\ u=x+y;$

3) $\ \Leftarrow\quad t^r+(1-t)^r\leqslant1\ (\forall t\in[0;1]),\ \text{i.e. this function is convex}.$

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group