задачка из теории категорий

[Trueman]

Найти универсальные стрелки в забывающие функторы U: $ Rng \to Ab;\,\,\, Top\to Set;\,\,\, Set_*\to Set;\,\,\, FMon\to Set $
Первый функтор из категории колец в категорию абелевых групп, кольцу ставится в соответствие его абелева группа, второй функтор из категории топологических пространств в категорию множеств, забвыается топология на множестве-носителе, третий функтор из категории множеств с отмеченной точкой в категорию множеств и четвёртый функтор из категории свободных моноидов в категорию множеств, забыается операция.
С последним функтором вроде бы всё просто. возьмём произвольное множество $X$, существует моноид $M_X$ для которого множество $X$ будет порождающим, моноид элементы которого слова алфавита $X$. Пусть $\phi: X\to U(M_X)$ отображает каждую букву-элемент множества $X$ в слово моноида состоящее из одной этой буквы. Тогда пара $(\phi;M_X)$ будет являться универсальной стрелкой из $X$ в этот функтор $U$. Действительно, так как отображение свободных моноидов достаточно задать отображением базиса, то есть всякое отображение $X\to M_Y$ единственным образом продолжается до гомоморфизма $M_X\to M_Y$, то имеем что для всякой стрелки $f:X\to U(M_Y)$ найдётся ровно одна стрелка $m:M_X\to M_Y$, такая что $f=U(m)\circ \phi$
С топологическим пространством получилась вроде бы стрелка такая $(1_X; T_X)$, где $T_X$ - множество $X$ с дискретной топологией
Может у кого-нибудь есть идеи, задачи вроде бы как не очень сложные. Спасибо за любую интересную идею.

[Руст]

Вопросы элементарные. В первом случае образуем свободный моноид, обазованной элементами абелевой группы. Далее по элементам этого моноида абелеву группу. Получается кольцо, которое надо факторизовать по тождествам дистрибутивности, умножения на 0.
По функтору из категории множестев с отмеченной точкой в категорию множеств. Сопряжённый слева функтор, к функтору забывания есть добавление отмеченной точки к множеству.

[Trueman]

Спасибо, за ответ. Я уж думал никто не ответит на элементарные вопросы .

[Руст]

Что касается первого случая,то он аналогичен классическому построению сопряжённого слева функтора (универсальных флгебр) к функтору забывания из ассоциативных колец в алгебры Ли, когда аассоциативной алгебре сопоставляется алгебра Ли с обычной операцией коммутации. Поэтому, ответ не требовал ничего, кроме знания элементарных понятий и я считал не заслуживающим реплики.

[Trueman]

Руст писал(а):

Что касается первого случая,то он аналогичен классическому построению сопряжённого слева функтора (универсальных флгебр) к функтору забывания из ассоциативных колец в алгебры Ли, когда аассоциативной алгебре сопоставляется алгебра Ли с обычной операцией коммутации. Поэтому, ответ не требовал ничего, кроме знания элементарных понятий и я считал не заслуживающим реплики.

Понятно.