Потенциал двух полусфер

[Euphoria]

Задача.
Одна половина сферы радиуса $R$ покрыта зарядом с плотностью $+\sigma$, другая - зарядом с плотностью $-\sigma$. Необходимо найти потенциал $\phi(r,\alpha)$ системы зарядов на большом расстоянии от центра сферы $(r\,>\,R)$.

Пытался начать с рассмотрения одной полусферы и найти напряжённость в её центре:

$$E_1\,=\,\sigma\pi$$

(Данный вопрос обсуждался, в частности, здесь: http://dxdy.ru/topic15843.html)
Далее перейти к заряду ($E=\frac{q}{R^2}$):

$$q\,=\,\sigma\pi R^2$$

Тогда потенциал:

$$\phi_1\,=\,\frac{q}{r}\,=\,\frac{\sigma\pi R^2}{r}$$

После чего нужно учесть, что мы работаем не с симметричным объектом и потенциал будет меняться в зависимости от угла. Как точно учесть эту зависимость не знаю, но предполагаю, что через $\sin\alpha$, если считать, что нулевой угол совпадает с плоскостью среза полусферы:

$$\phi_2\,=\,\phi_1\cos\alpha\,=\,\frac{q}{r}\,=\,\frac{\sigma\pi R^2}{r}\sin\alpha$$

Тогда для второй полусферы в потенциале ничего менять не надо, потому что синус даст верный знак, который должен появиться из-за противоположного заряда.
И значит в итоге нужно взять сумму потенциалов в точке:

$$\phi\,=\,2\phi_2$$

Под вопросом 2 момента:
1) переход от полусферы к рассмотрению заряда в центре (всё же это не целая сфера);
2) учёт зависимости значения потенциала от угла.

В чём не верны рассуждения?

[ewert]

Давайте чего ляпну. Имеется в виду, надо полагать, потенциал в дипольном приближении. Ну тогда наверняка потенциал, задаваемый каждой половинкой, сводится к потенциалу, создаваемому её зарядом, сосредоточенным в её же центре масс.