напряженность поля полусферы

[ShMaxG]

Помогите пожалуйста разобраться. Это задача из физики, но здесь больше математики, из-за которой, собственно, и вопрос. Дана полусфера, равномерно заряженная. Нужно найти в ее центре модуль напряженности поля. Радиус R, поверхностная плотность

$$\sigma $$

. Я решаю эту задачу двумя способами.

1) В сферических координатах выделяю на поверхности полусферы участок dS, пишу формулу для dE и интегрирую по поверхности. Вот выкладки:

$$ \eqalign{ & E = \int\limits_S {\frac{\sigma } {{R^2 }}\cos \vartheta dS} = \sigma \int\limits_\varphi {\int\limits_\vartheta {\sin } } \vartheta \cos \vartheta d\vartheta d\varphi = \frac{\sigma } {2}\int\limits_\varphi {\int\limits_\vartheta {\sin } } 2\vartheta d\vartheta d\varphi \cr & = \frac{\sigma } {2}\int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {\sin 2\vartheta d\vartheta d\varphi } } = \frac{\sigma } {2} \cdot 2\pi = \sigma \pi \cr} $$

2) Заметим, что

$$ \frac{1} {{R^2 }}\cos \vartheta dS = d\Omega $$

, т.е. телесному углу, под которым площадка dS видна из центра. Запишем так:

$$ dE = \sigma d\Omega $$

. Остается проинтегрировать по телесному углу. Получим

$$ E = \sigma \Omega $$

.
Здесь,

$$\Omega $$

- полный телесный угол, под которым видна полусфера из центра. Но

$$\Omega = 2\pi $$

. Значит

$$ E = 2\sigma \pi $$

.

Вопрос: где в рассуждениях сделана ошибка?

P.S. исправил опечатки

Добавлено спустя 1 час 39 минут 15 секунд:

[e7e5]

ShMaxG писал(а):

Помогите пожалуйста разобраться. Это задача из физики, но здесь больше математики, из-за которой, собственно, и вопрос. Дана полусфера, равномерно заряженная. Нужно найти в ее центре модуль напряженности поля. Радиус R, поверхностная плотность

$$\sigma $$

Пусть например искомая напряженность равна $E_0$. Теперь возьмем дольку получферы: двумя плоскосятми, проходящими через один и тот же диаметр и составляющими друг с другом угол $\alpha$, от этой получферы отделяем "дольку".
Ищем теперь напряженность электрического поля в этой же точке ( центре полусферы) от зарядов на этой дольке - напряженность от этой дольки пусть равна $E$.

Здесь применяем принцип супперпозиции, дополняя дольку до полусферы с той же плотностью зарядов ( приложенная долька с углом раствора $\pi$ - $\alpha$.) - напряженность от этой дольки пусть равна $E^'$.
Далее нужно рассмотреть векторы напряженности от этих долек. Их векторная сумма - вектор напряженности поля полусферы в ее центре
Находится угол между этими векторами, и $E$=$E_0$Sin(\alpha/2)
Можете подсчитать напряженность от тоненького полуколечка ( долька, но очень узкая)?

[ShMaxG]

Вопрос не в том, как найти напряженность. Вопрос в том, почему разные решения дают разный ответ. Где в рассуждениях ошибка?

[e7e5]

ShMaxG писал(а):

Вопрос не в том, как найти напряженность. Вопрос в том, почему разные решения дают разный ответ. Где в рассуждениях ошибка?

Попробуйте третье решение, тогда и прояснится...

[Александр Т.]

ShMaxG писал(а):

Вопрос: где в рассуждениях сделана ошибка?

Во втором случае Вы суммируете (точнее интегрируете) модули напряженности от элементов заряженной полусферы. А согласно принципу суперпозиции нужно суммировать векторы напряженностей этих элементов (или их соответствующие компоненты в декартовой системе координат). Кроме того, $ \frac{1} {{R^2 }}\cos \vartheta dS \ne d\Omega = \frac{1} {{R^2 }}dS $.

В данной задаче в силу осевой симметрии вектор напряженности в центре полусферы будет направлен вдоль оси симметрии. Поэтому достаточно проинтегрировать компоненты векторов напряженностей вдоль этой оси (интегралы от других компонент будут равны нулю). Что и было сделано в первом варианте, который, по всей видимости, дает правильный ответ.

[e7e5]

Александр Т. писал(а):

ShMaxG писал(а):

Вопрос: где в рассуждениях сделана ошибка?

Поэтому достаточно проинтегрировать компоненты векторов напряженностей вдоль этой оси (интегралы от других компонент будут равны нулю).

Авторский вопрос иными словами: почему такая "тяжелая артиллерия" дает разные результаты. Т.е простое решение не нужно искать в симметрии. Нужно бить прямой наводкой

[ShMaxG]

Я суммирую не модули напряженности. Я же

$$\cos \vartheta $$

поставил в выражение. Это и есть компонент вдоль оси симметрии.

Тогда скажем так. Правильно ли я понимаю и применяю понятие телесного угла?

Добавлено спустя 16 минут 21 секунду:

Re: напряженность поля полусферы

ShMaxG писал(а):

Кроме того, $ \frac{1} {{R^2 }}\cos \vartheta dS \ne d\Omega = \frac{1} {{R^2 }}dS $.

Вооо, уже лучше) Дело в том, что в учебнике Сивухина разбирается пример с круглой пластинкой и там разбирают аналогично и пишут: "

$$ \frac{1} {{R^2 }}\cos \vartheta dS = d\Omega $$

, где

$$d\Omega $$

- телесный угол, под которым площадка dS видна из точки". Может фишка в словах "видна из точки"? Я вот этого не понимаю.

Добавлено спустя 3 минуты 2 секунды:

e7e5
Меня не интересует еще один случай, который, если честно, не понимаю как решить. Мне просто хочется разобраться в том, как я использую понятие телесного угла, в чем фишка, т.е.

Добавлено спустя 9 минут 20 секунд:

А, кажется я понял в чем фишка. В учебнике разбирался случай с плоской пластинкой. Там элемент dS был плоским, а в нашем случае нет. Ведь телесный угол определяется отношением площади, нормальной к радиусу-вектору, к квадрату этого радиуса. Вот:

$$ d\Omega = dS_ \bot /r^2 = (\mathop {dS}\limits^ \to \mathop n\limits^ \to )/r^2 = dS\cos \vartheta /r^2 $$

. Это в той задаче повезло, что мы заодно модуль напряженности нашли, а здесь другая ситуация. Всем спасибо.

[Александр Т.]

ShMaxG писал(а):

Я суммирую не модули напряженности. Я же

$$\cos \vartheta $$

поставил в выражение. Это и есть компонент вдоль оси симметрии.

Я внес уточняющие исправления в свой ответ. У Вас ошибка во втором варианте. Точнее две.

ShMaxG писал(а):

Тогда скажем так. Правильно ли я понимаю и применяю понятие телесного угла?

Первая ошибка как раз состояла в неправильном определении элемента телесного угла. Разберу второй вариант подробнее.

ShMaxG писал(а):

2) Заметим, что

$$ \frac{1} {{R^2 }}\cos \vartheta dS = d\Omega $$

, т.е. телесному углу, под которым площадка dS видна из центра.

На самом деле $ \frac{1} {{R^2 }}\cos \vartheta dS = \cos \vartheta d\Omega $$

ShMaxG писал(а):

Запишем так:

$$ dE = \sigma d\Omega $$

.

Точнее будет выбрать ось $z$ вдоль оси симметрии и записать $dE_z = \cos \vartheta\sigma d\Omega $.

ShMaxG писал(а):

Остается проинтегрировать по телесному углу. Получим

$$ E = \sigma \Omega $$

.

А затем увидеть, что из-за косинуса так просто проинтегрировать не удастся.

А вот если бы Вы решили проинтегрировать модули, то такое простое интегрирование у Вас бы получилось. Поэтому я и решил при беглом взляде, что Вы суммируете модули, и что это Ваша единственная ошибка.

P.S. Пока я писал, Вы успели во всем разобраться самостоятельно. Но, пожалуй, стирать я это сообщение не буду, т.к. оно по крайней мере объясняет, почему я решил, что Вы суммировали модули напряженностей.

[ShMaxG]

А я так и подумал. Еще раз, спасибо Вам большое.

[e7e5]

ShMaxG писал(а):

e7e5
Меня не интересует еще один случай, который, если честно, не понимаю как решить. Мне просто хочется разобраться в том, как я использую понятие телесного угла, в чем фишка, т.е.

С углом разобрались. А вот две "дольки" должны дать такой же рузультат, как одна большая. Будет время порешайте...