Площадь квадрата

[Alex38561]

Xaositect в сообщении #279284 писал(а):

Ну почему же. Можно сказать, что площадь круга радиусом $1$ метр есть $1$ круговой метр . Тогда можно доказать, что площадь круга есть $R^2$ круговых метров, а 1 квадратный метр равен $\frac{1}{\pi}$ круговых.

Это просто выбор единицы. Из остальных аксиом меры можно вывести, что если мы принимаем(произвольно) некоторую единицу площади и выводим, что площадь ед. квадрата равна $s$, то площадь прямоугольника $abs$, круга $\pi r^2s$.

А разве $R^2$ в геометрическом смысле не подразумевает квадрат.

[gris]

Хотя можно было аксиоматизировать то, что площадь прямоугольника равна произведению длин сторон. Но это гораздо сложнее и не так очевидно.

[Alex38561]

gris в сообщении #279292 писал(а):

Хотя, если Вы копаете гораздо глубже, например, почему в качестве площади нельзя взять некоторую хитрожумную функцию на множестве всех подмножеств $\mathbb R^2$, а потом натыкать нас носом в мощи Банаха или Тарского, то тут уж я скромно удалюсь от дискуссии за недостаточностью познаний.

Про $a^2$ именно это я и хотел сказать. Это формула $a^2$ следует из того, что площадь квадрата со стороной 1 договорились считаь равной 1 (аксиома нормировки, если позволите), а вовсе не наоборот.

Мои познания вообще на уровне школьных.....а про таких товарищей как Банах и Тарский я даже не слышал....
Спасибо за разъяснение...

[Виктор Ширшов]

Не знаю, как другие, а древние египтяне, по-видимому, измеряли площадь "священным треугольником", стороны которого равны 3, 4 и 5 мер, служившим им в качестве эталона площади. Кстати, шесть площадей такого прямоугольного треугольника составляют квадрат со сторонами 6х6 мер.

[Ales]

В Евклидовой геометрии у квадрата прямые углы, поэтому квадратом можно заполнять плоскость, как на шахматной доске. Можно разделить квадрат на четыре квадрата поменьше и так далее. Можно исчерпывать фигуры квадратами. Поэтому можно измерять площади квадратами. За меру площади можно принять площадь квадрата со стороной 1. Началом служит квадрат размера сопоставимого с размером человека - единица, уже эту единицу потом складываете и дробите как заблагорассудится. Ничего другого, кажется, не придумали.

-- Вс янв 10, 2010 22:07:58 --

Формула площади $a^2$ подразумевает не только целые, но и дробные числа.

[Alex38561]

Ales в сообщении #279389 писал(а):

В Евклидовой геометрии у квадрата прямые углы, поэтому квадратом можно заполнять плоскость, как на шахматной доске. Можно разделить квадрат на четыре квадрата поменьше и так далее. Можно исчерпывать фигуры квадратами. Поэтому можно измерять площади квадратами. За меру площади можно принять площадь квадрата со стороной 1. Началом служит квадрат размера сопоставимого с размером человека - единица, уже эту единицу потом складываете и дробите как заблагорассудится. Ничего другого, кажется, не придумали.

-- Вс янв 10, 2010 22:07:58 --

Формула площади $a^2$ подразумевает не только целые, но и дробные числа.

Ну предположим мы приняли за единицу квадрат со стороной 1. Но чему будет равна площадь самого этого квадрата? Разве не S=a^2?

[Ales]

Приняли за единицу площади при измерении площади квадрат со стороной 1. Значит его площадь равна $1=1^2$.

[Alex38561]

Ales в сообщении #279397 писал(а):

Приняли за единицу площади при измерении площади квадрат со стороной 1. Значит его площадь равна $1=1^2$.

Ну т.е. площадь квадрата во всех случаях будет вторая степень стороны?

-- Вс янв 10, 2010 22:49:09 --

gris в сообщении #279279 писал(а):

Вот уж нет. Произведение длины на ширину это уже доказывается. Это уже следствие из аксиом, где нет ни длины, ни ширины, а только квадрат со стороной 1. И сказано, что его площадь равна 1.

Хотя до аксиоматического определения было бытовое. Чем в доисторические времена меряли площадь? Наверняка воловьими шкурами. Умножать-то не умели.

А шкура, кстати, ближе к кругу, чем к квадрату.

Всё таки не до конца понятно: если предположить что м^2 признали площадью квадрата со стороной 1 метр . Тогда не понятно почему такое обозначение м^2 разве это не говорит нам о том что это есть произведение метра на метр. Т.е. площадь квадрата равная м^2 образуется в результате произведения метра на метр.

[Ales]

Ну да, Вы сравниваете квадрат с единичным квадратом, и получаете, что их площади относятся как квадраты сторон. Но для этого надо потрудиться: резать, дробить и перемещать квадраты. Сначала сравниваете целые, потом дробные и предельным переходом к иррациональным.

[Alex38561]

Ales в сообщении #279401 писал(а):

Ну да, Вы сравниваете квадрат с единичным квадратом, и получаете, что их площади относятся как квадраты сторон. Но для этого надо потрудиться: резать, дробить и перемещать квадраты. Сначала сравниваете целые, потом дробные и предельным переходом к иррациональным.

Я просто пытаюсь понять откуда берется формула S=a^2 - это что аксиома?

Почему площадь любого квадрата равна сторона во второй степени.

[Ales]

Нет это не аксиома. Формула выводится из свойства Евклидовой плоскости: она однородна, по ней можно двигаться и перемещать фигуры. И она может быть выложена одинаковыми квадратами, как пол кафельной плиткой. Фигуры на плоскости можно разрезать на кусочки и склеивать, накладывать друг на друга и таким образом сравнивать их площади. Чтобы ввести шкалу измерения площади принимаете за 1 площадь какой-нибудь фигуры, наиболее удобно и естественно, чтобы это был квадрат со стороной 1. Квадратами мерять удобно. А кругами не очень.

[Xaositect]

Формула $S = a^2$ выводится из следующих утверждений (определение площади):
1. Площадь неотрицательна.
2. Если фигуру $A$ можно разбить на семейство фигур $\{A_i\}$, то площадь $A$ равна сумме площадей фигур этого семейства.
3. Площадь квадрата со стороной $1$ равна $1$.

[vek88]

Ну и дела - как Вас всех скукожило! Вот, что делают с людьми длинные каникулы. Ну ни чего - "доктор едет, едет в снежную равнину". Позволю напомнить, как мы измеряем длину. Для этого:

1. Берем аршин, метр, фут (короче линейку, какую кому нравится).
2. Прикладываем аршин, метр,... к измеряемой хреновине.
3. Получилось, например, 3,5 аршина.
4. Вот мы и говорим, что длина измеряемой хреновины равна 3,5 аршина.

Чтобы части аршина измерять точнее, линейку "разбивают на маленькие линеечки" (см, мм, дюймы, ...).

В точности то же и для площади. Разница в том, что здесь нет практического смысла в "большой линейке" - надо сразу брать "маленькую линеечку" - то бишь маленький квадратик.

Вот и все - мы таким образом можем приближенно измерить площадь не только произвольного квадрата, но и ... - умные ребятки сами смогут продолжить, что можно так измерить.

А как назвать маленький квадратик? Да хоть квадратной хреновиной. Так и будем говорить - площадь Вашей комнаты, например, 50 млн. кв. хреновин. Можно даже специальное обозначение придумать для кв. хр.

Ну а чтоб попроще и не плодить новых единиц, примем за эталон квадратик со сторой 1 мм (или нанометр, если нужна высокая точность).

[clerkx]

Думаю такая аналогия поможет представить, как из длины и ширины получается площадь. Она довольно некорректна с точки зрения математики, но позволяет представить, как из одномерных отрезков получается двухмерная фигура.
Для начала, понятно, что любое число умноженное само на себя дает это число в второй степени. Для того, чтобы получить квадрат, мы берем 2 отрезка одинаковой длины и перемножаем их. Очевидно, что чтобы ни получилось в итоге, это число будет квадратом числа, равного длине любого из этих отрезков. Теперь, что значит умножить длину на ширину. Рассмотрим умножение двух чисел, например $7 * 7$. Очевидно, что это все-равно, что разбить первое число на единицы и умножить каждую из них на второе число. Или, по другому, заменить каждую из единиц первого числа на второе. Примерно также и с отрезками. Возьмем два одинаковых отрезка, перпендикулярных друг-другу. Разобьем один из отрезков на точки, его составляющие. А теперь заменим каждую точку на другой отрезок. При этом, у нас получилась фигура, длины всех четырех сторон которой равны (т.к. отрезки равны), а сами стороны находятся под углом 90 градусов (т.к отрезки перпендикулярны), т.е. квадрат. А его площадь равна произведению двух одинаковых по длине отрезков, т.е. квадрату длины одного из них.
Еще раз повторюсь, что это лишь удобный (во всяком случае для меня) способ представить.

[vek88]

clerkx в сообщении #279680 писал(а):

Думаю такая аналогия поможет представить, как из длины и ширины получается площадь. Она довольно некорректна с точки зрения математики, но позволяет представить, как из одномерных отрезков получается двухмерная фигура.

Я ж говорю, длинные каникулы пагубно влияют на нас. О какой некорректности мы говорим?

А как же, например, в математике вводится интеграл, выражающий площадь плоской фигуры? Берем сумму всех квадратиков $S_1$, которые целиком внутри фигуры, площадь которой измеряем, берем сумму всех квадратиков $S_2$, которые полностью покрывают фигуру. И дальше устремляем размер квадратиков к нулю ... и произносим стандартные мантры. И получаем интеграл, выражающий площадь фигуры.

Эта же идея с квадратиками позволяет понять, почему размерность единицы измерения площади равна квадрату единицы длины. Пусть дана некоторая плоская фигура, площадь которой мы уже знаем в результате измерения ее маленькими квадратиками (мы опускаем вопросы существования интеграла или измеримости). Растянем эту фигуру в $n$ раз. Какова площадь получившейся фигуры? Так как маленьких квадратиков теперь понадобилось в $n^2$ раз больше, площадь увеличилась в $n^2$ раз.

Вам это не очевидно? Тогда мы идем к Вам.