Площадь квадрата

[Alex38561]

Площадь квадрата вычисляется по формуле: S=a^2, где a-сторона квадрата
Помогите, пожалуйста понять эту формулу...

В учебнике дается следующее понимание:


Т.е. берётся некоторый квадратик определённой площади (в данном случае m^2) и с помощью его измеряется большой квадрат. Здесь смысл формулы понятен - площадь большого квадрата равна произведению столбцов на количество квадратов в каждом столбце т.е. произведение длины на ширину.
Но что представляет собой площадь маленького квадрата, что представляет собой m^2, m^2=m\times m т.е. тоже самое: произведение длины на ширину.Как объяснить этот момент?
Т.е. получается что формула S=a^2 вытекает из методики определения площади (или наоборот)?! Т.е. получается, что мы можем умножить метр на метр и получить метр в квадрате (как единицу отображения площади) только в том случае если мы предполагаем, что квадратик с площадью m^2 так же можно разделить на маленькие квадратики?!

P.S. только не надо обвинять меня в тролизме

[meduza]

Площадь задается системой аксиом, если поискать в интернете или книгах, то думаю можно их легко найти. Площадь квадрата со стороной $a$ по определению равна $a^2$.

[Alex38561]

meduza в сообщении #279250 писал(а):

Площадь задается системой аксиом, если поискать в интернете или книгах, то думаю можно их легко найти. Площадь квадрата со стороной $a$ по определению равна $a^2$.

А на каком основании дали такое определение? Ведь определение не может возникать из ничего...

[gris]

В школе понятие площади вводится аксиоматически, как уже сказал meduza, для фигуры это положительное число, площадь целого равна сумме площадей частей, площади равных фигур равны и, наконец, площадь квадрата со стороной 1 объявляется равной 1. Для квадрата со стороной $a$ равенство площади $a^2$ доказывается (нестрого) предельным переходом.

Почему так сделали? Можно было бы постановить, что площадь квадрата со стороной 1 равна не 1, а s. И ничего бы страшного не произошло. Считали бы площадь прямоугольника по формуле $sab$, круга - $s\pi r^2$. И привыкли бы, наверное.

Но это было бы неудобно. Единицу площади нельзя было бы назвать квадратный метр. Всё-таки квадратный метр это квадрат, сложенный из линейных метров. А что это за единица площади, которая не равна 1?

[meduza]

Alex38561 в сообщении #279253 писал(а):

А на каком основании дали такое определение?

Чтобы дать определение, основания не нужны. Это же не теоремы, их доказывать не нужно. Если хотите, можете принять "по определению", что площадь круга с радиусом $R$ равна $R^2$, а уже из нее определять площади других фигур, "заполняя" эту фигуру кругами. Но согласитесь, это не так удобно, как с квадратами.

[Alex38561]

gris в сообщении #279264 писал(а):

Всё-таки квадратный метр это квадрат, сложенный из линейных метров. А что это за единица площади, которая не равна 1?

Что значит сложенный из линейных метров?

[gris]

А квадрат из линейных метров сложите сами. Возьмите 4 палочки длиной по 1 метру и сложите. Будет Вам занятие на досуге.

[Alex38561]

gris в сообщении #279264 писал(а):

Но это было бы неудобно. Единицу площади нельзя было бы назвать квадратный метр. Всё-таки квадратный метр это квадрат, сложенный из линейных метров. А что это за единица площади, которая не равна 1?

Мне кажется что квадратный метр называется так потому что он есть произведение метра на метр а уже это произведение т.е. произведение длины на ширину формирует площадь. Я не говорю что единица площади не может быть равна единице, я говорю о том что есть эта единица площади. Во всех случаях это будет произведение длины на ширину.
Я не могу понять того момента: как произведение длины на ширину формирует площадь?

-- Вс янв 10, 2010 17:30:42 --

meduza в сообщении #279267 писал(а):

Чтобы дать определение, основания не нужны. Это же не теоремы, их доказывать не нужно. Если хотите, можете принять "по определению", что площадь круга с радиусом $R$ равна $R^2$, а уже из нее определять площади других фигур, "заполняя" эту фигуру кругами. Но согласитесь, это не так удобно, как с квадратами.

Я не считаю что это возможно, нельзя принять по определению что площадь круга равна R^2 это будет нарушением объективной истины. Мне кажется что все аксиомы есть выражение объективной истины.

[gris]

Вот уж нет. Произведение длины на ширину это уже доказывается. Это уже следствие из аксиом, где нет ни длины, ни ширины, а только квадрат со стороной 1. И сказано, что его площадь равна 1.

Хотя до аксиоматического определения было бытовое. Чем в доисторические времена меряли площадь? Наверняка воловьими шкурами. Умножать-то не умели.

А шкура, кстати, ближе к кругу, чем к квадрату.

[Xaositect]

Alex38561 в сообщении #279276 писал(а):

Я не считаю что это возможно, нельзя принять по определению что площадь круга равна это будет нарушением объективной истины. Мне кажется что все аксиомы есть выражение объективной истины.

Ну почему же. Можно сказать, что площадь круга радиусом $1$ метр есть $1$ круговой метр . Тогда можно доказать, что площадь круга есть $R^2$ круговых метров, а 1 квадратный метр равен $\frac{1}{\pi}$ круговых.

Это просто выбор единицы. Из остальных аксиом меры можно вывести, что если мы принимаем(произвольно) некоторую единицу площади и выводим, что площадь ед. квадрата равна $s$, то площадь прямоугольника $abs$, круга $\pi r^2s$.

[meduza]

Alex38561 в сообщении #279276 писал(а):

Я не считаю что это возможно, нельзя принять по определению что площадь круга равна $R^2$ это будет нарушением объективной истины. Мне кажется что все аксиомы есть выражение объективной истины.

Что ещё за объективная истина? Нет такой. Это математика, мы сами придумываем аксиомы и на основании их строим теории. (А Вот в физике уже не так -- там мы обязаны согласовываться с опытом.)

[Alex38561]

gris в сообщении #279279 писал(а):

Вот уж нет. Произведение длины на ширину это уже доказывается. Это уже следствие из аксиом, где нет ни длины, ни ширины, а только квадрат со стороной 1. И сказано, что его площадь равна 1.

Хотя до аксиоматического определения было бытовое. Чем в доисторические времена меряли площадь? Наверняка воловьими шкурами. Умножать-то не умели.

А шкура, кстати, ближе к кругу, чем к квадрату.

Т.е. вы хотите сказать, что площадь квадрата со стороной равной 1 равна 1 просто потому что так договорились, а не потому что здесь так же действует формула: S=a^2

-- Вс янв 10, 2010 17:48:48 --

meduza в сообщении #279286 писал(а):

Что ещё за объективная истина? Нет такой. Это математика, мы сами придумываем аксиомы и на основании их строим теории. (А Вот в физике уже не так -- там мы обязаны согласовываться с опытом.)

Получается, что аксиомы не связаны с объективной реальностью (не зависящей от человека)....и возникают из "воздуха".

[gris]

Хотя, если Вы копаете гораздо глубже, например, почему в качестве площади нельзя взять некоторую хитрожумную функцию на множестве всех подмножеств $\mathbb R^2$, а потом натыкать нас носом в мощи Банаха или Тарского, то тут уж я скромно удалюсь от дискуссии за недостаточностью познаний.

Про $a^2$ именно это я и хотел сказать. Это формула $a^2$ следует из того, что площадь квадрата со стороной 1 договорились считаь равной 1 (аксиома нормировки, если позволите), а вовсе не наоборот.

[meduza]

Alex38561 в сообщении #279288 писал(а):

Т.е. вы хотите сказать, что площадь квадрата со стороной равной 1 равна 1 просто потому что так договорились, а не потому что здесь так же действует формула: $S=a^2$

Эта формула уже вытекает из той договорённости.

(Оффтоп)

Когда пишите формулу, просто окружается ее долларами, тег math писать не нужно. Согласитесь, $S=a^2$ выглядит красивей S=a^2.

[gris]

А про аксиомы так скажу - где в природе Вы видели бесконечные прямые, точки, плоскости? Это всё абстракции, основанные, однако на реальном опыте. Старика Канта почитайте.