задачка по функану: компактность оператора

[beha89]

При каких $\alpha\in (0,1)$ оператор $A:L_2 [0,1]\to L_2 [0,1]$,
$(Ax)(t)=\int_0^1 \frac{x(s)}{|t-s|^a} ds$,
компактен?

[PAV]

В учебный раздел

[ewert]

При всех.

Причина: при итерировании ядер степень особенности уменьшается и рано или поздно становится меньше 1/2, а оператор, соответственно -- гильберт-шмидтовым. (При этом существенно, конечно, что исходный оператор самосопряжён.)

[nckg]

то, что при $\alpha<1/2$ оператор будет гильберт-шмидтовым, - это видно. А при чём тут итерирование ядер?

[ewert]

Докажите такую леммку: если ядро оператора $A$ оценивается сверху через $\dfrac{\mathrm{const}}{|x-y|^{\alpha}}$, то ядро оператора $A^2$ оценивается сверху через $\dfrac{\mathrm{const}}{|x-y|^{2\alpha-1}}$ при $\alpha>\dfrac{1}{2}$ и просто константой при $\alpha<\dfrac{1}{2}$ (при $\alpha=\dfrac{1}{2}$ особенность будет логарифмической, но фактически этот случай можно и обойти, чтоб не возиться).

Это означает, что при достаточно большом $k$ оператор $A^{2^k}$ заведомо компактен. А поскольку исходный оператор $A$ самосопряжён, то компактность переносится и на него.

[terminator-II]

ewert
чего-то я Вас не понял. Есть вполне стандартный критерий: $\frac{1}{|t-s|^{2\alpha}}\in L^1([0,1]_t\times[0,1]_s)$ откуда следует что $\alpha<1/2$

[ewert]

Это не критерий, а достаточное условие. При этом условии оператор называется оператором Гильберта-Шмидта (ну или является, если за определение гильбертшмидтовости принять соотв. св-во сингулярных чисел). И из этого следует компактность. А вот обратное -- неверно: из компактности гильбертшмидтовость не следует. Естественно.

[nckg]

ewert, насчёт повторных ядер я согласен. А "леммка" с доказательством есть например у Владимирова в УМФ (старое издание). Непонятно вот что:

ewert в сообщении #279174 писал(а):

Это означает, что при достаточно большом $k$ оператор $A^{2^k}$ заведомо компактен. А поскольку исходный оператор $A$ самосопряжён, то компактность переносится и на него.

Почему из компактности $A^{2^k}$ следует компактность $A$?

[ewert]

Ну надо просто доказать, или найти где-нибудь вспомогательную теоремку: "если оператор $A$ самосопряжён, и $A^2$ компактен, то и сам $A$ тоже компактен".

Это достаточно тривиально следует из спектрального разложения самосопряжённого оператора. Но и без него тоже можно (с некоторым скрипом), только я сейчас не помню, как и где искать. Во всяком случае, что из ограниченности квадрата следует ограниченность исходного (в самосопряжённом случае) -- воистину тривиально.

[id]

ewert
Ну да, ограниченность $A$ тривиальна, Коши-Буняковский.
Но из ограниченности оператора $A$ ведь получается еще не следует, что этот оператор будет именно интегральный, т.е. что его ядро из $L_2(\square)$? И, значит, просто так применить теорему о компактности интегральных операторов еще нельзя?

[ewert]

id в сообщении #279470 писал(а):

Но из ограниченности оператора $A$ ведь получается еще не следует, что этот оператор будет именно интегральный, т.е. что его ядро из $L_2(\square)$?

А в этом месте интегральность и не нужна, это -- абстрактно-операторный факт.

Теорема. Пусть $A$ -- самосопряжённый оператор. Тогда если оператор $A^2$ компактен, то и сам оператор $A$ тоже компактен.

Доказательство. Из компактности оператора $A^2$ следует его ограниченность -- а значит (в силу самосопряжённости), и ограниченность $A$. Для любого ограниченного оператора справедливо полярное разложение: $A=V\,|A|$, где $V$ -- частичная изометрия и $|A|\equiv\sqrt{A^*A}$, причём последний оператор определён однозначно. В самосопряжённом случае модуль оператора однозначно определяется условиями $|A|^2=A^2$ и $|A|\geqslant0$. Однако в силу компактности $A^2=\sum_k\lambda_kP_k$, где $\{\lambda_k\}$ -- это стремящаяся к нулю (или конечная) последовательность положительных собственных чисел оператора $A^2$ и $\{P_k\}$ -- это взаимно ортогональные ортопроекторы на соответствующие собственные подпространства. Очевидно, указанным условиям на модуль удовлетворяет оператор $\sum_k\sqrt{\lambda_k}P_k$, а в силу единственности это и есть $|A|$. Следовательно, оператор $|A|$ компактен. Но тогда компактен и оператор $A=V\,|A|$ -- просто из-за ограниченности $V$.

(Наверное, не самое изысканное доказательство; но зато напрашивающееся.)

[nckg]

Теперь всё понятно.

(Оффтоп)

Вот небольшая вариация на тему - задачка: доказать что если для ограниченного самосопряжённого оператора $A$ существует $k\in \mathbb N$, для которого $A^k$ компактен, то $A$ - компактен.

[beha89]

тут вот такое утверждение нашел:
Если $\{A_n\}_1^\infty$ -компактные операторы и $A_n _\to^\to A$, то $A$ тоже компактный оператор.
для $A_n$ какие ядра взять?

[terminator-II]

ewert в сообщении #279496 писал(а):

Теорема. Пусть $A$ -- самосопряжённый оператор. Тогда если оператор $A^2$ компактен, то и сам оператор $A$ тоже компактен.

Доказательство. Из компактности оператора $A^2$ следует его ограниченность -- а значит (в силу самосопряжённости), и ограниченность $A$. Для любого ограниченного оператора справедливо полярное разложение: $A=V\,|A|$, где $V$ -- частичная изометрия и $|A|\equiv\sqrt{A^*A}$, причём последний оператор определён однозначно. В самосопряжённом случае модуль оператора однозначно определяется условиями $|A|^2=A^2$ и $|A|\geqslant0$. Однако в силу компактности $A^2=\sum_k\lambda_kP_k$, где $\{\lambda_k\}$ -- это стремящаяся к нулю (или конечная) последовательность положительных собственных чисел оператора $A^2$ и $\{P_k\}$ -- это взаимно ортогональные ортопроекторы на соответствующие собственные подпространства. Очевидно, указанным условиям на модуль удовлетворяет оператор $\sum_k\sqrt{\lambda_k}P_k$, а в силу единственности это и есть $|A|$. Следовательно, оператор $|A|$ компактен. Но тогда компактен и оператор $A=V\,|A|$ -- просто из-за ограниченности $V$.

Другое доказательство. пусть $\{x_k\}$ ограниченная последовательность. Тогда, по условию, из нее можно извлечь подпоследовательноcть $\{x'_k\}$ такую, что $A^2x'_k\to x$ сильно. В частности $(A^2x'_k-A^2x'_j,x'_k-x'_j)\to 0$ при $j,k\to\infty$ в силу нер. Коши -Буняковского. Но $(A^2x'_k-A^2x'_j,x'_k-x'_j)=(Ax'_k-Ax'_j,Ax'_k-Ax'_j)=\|Ax'_k-Ax'_j\|^2$

[ewert]

beha89 в сообщении #279526 писал(а):

тут вот такое утверждение нашел:
Если $\{A_n\}_1^\infty$ -компактные операторы и $A_n _\to^\to A$, то $A$ тоже компактный оператор.
для $A_n$ какие ядра взять?

Вопрос непонятен. Зачем брать?... Какие "ядра", если речь об абстрактной компактности?...

terminator-II в сообщении #279532 писал(а):

Другое доказательство.

Замечательное доказательство (действительно замечательное). Но я могу предложить и третье -- в противоположную сторону.

Для любых самосопряжённых операторов верна спектральная теорема. Из неё, в частности, следует:

1). Для самосопряжённых операторов компактность равносильна характерному (известно какому) виду спектра.

2). Если некоторое число принадлежит спектру оператора, то его $k$-тая степень принадлежит спектру $k$-той степени оператора.

Как следствие: из компактности $A^k$ следует компактность $A$.