задачка по функану: компактность оператора

[beha89]

ewert в сообщении #279553 писал(а):

Вопрос непонятен. Зачем брать?... Какие "ядра", если речь об абстрактной компактности?...

в моем случае $(Ax)(t)=\int_0^1 \frac{x(s)}{|t-s|^a} ds$, $K(t,s)=\frac{1}{|t-s|^a}$.
Надо найти такие $K_n (t,s)$, для которых $(A_n x)(t)=\int_0^1 K_n (t,s)x(s)ds$ компактные и $||A_n-A||\to 0$.





Как я понял с помощью теоремы:
Пусть $A$ -- самосопряжённый оператор. Тогда если оператор $A^2$ компактен, то и сам оператор $A$ тоже компактен.
доказали, что $A$ компактен при $\alpha<1/2$ и $1/2<\alpha<1$

Могу ли я при $\alpha=1/2$ доказать след. образом:
Рассм. $K_n (t,s)=\frac{1}{|t-s|^{\frac{1}{2}-\frac{1}{n}}}$ => $A_n$ -компактные операторы. Далее
$||A_n - A(\alpha=\frac{1}{2})||=|\int_{0}^{1}(\frac{1}{|t-s|^{\frac{1}{2}-\frac{1}{n}}}-\frac{1}{|t-s|^{\frac{1}{2}}})ds|\to 0$ при $n\to\infty$. Следовательно по

Цитата:

Если $\{A_n\}_1^\infty$ -компактные операторы и $A_n _\to^\to A$, то $A$ тоже компактный оператор.

оператор $A$ при $\alpha=\frac{1}{2}$ компактен.

[ewert]

Я лично ничего не понял (может, кто-то другой поймёт).

Идея в следующем.

Исходный оператор определён ну уж как минимум на множестве всех непрерывных функций.

И на этом множестве его степени остаются интегральными операторами.

И рано или поздно ядро той самой степени окажется достаточно слабым -- настолько, что оператор, отвечающий этому ядру, окажется компактным (поначалу на только непрерывных функциях, но потом и везде, после распространения его на всё эль-два по непрерывности).

А вот тогда из общих соображений будет следовать компактность и исходного оператора.

В чём проблема -- непонятно.

[nckg]

Я понял beha89 так: в случае $\alpha \in (0,\frac12)\cap(\frac12,1)$ проблем нет.
А вот как обходить логарифмическую особенность при $\alpha=\frac12$ непонятно. Поэтому аппроксимируем оператор при $\alpha = \frac12$ заведомо компактными, а дальше - как предел компактных по операторной норме.

[ewert]

Да не надо ничего аппроксимировать. Просто ${1\over|t-s|^{1/2}}<{1\over|t-s|^{5/8}}$, например. А теперь возводим оператор в квадрат -- вот половинка и обойдена.

(К тому же логарифмическая особенность сама по себе безобидна -- просто противно её вытягивать из итерированного ядра.)