Линал (матрицы, Кострикин 41.15)

[Phoenix]

Добрый вечер!

Подскажите, пожалуйста, как решить след. задачу (Кострикин, 41.15):

Если квадратные матрицы $ A $ и $ B $ удовлетворяют $ AB-BA=B $, то $B$ нильпотентна.
Я пытался умнгожить слева на $ A^{-1} $ и превести к жорданову разложению, да ведь вроде обратимость как-то и неоговорена... :(

[Руст]

Можете привести B к Жордановой форме (расширяя коэффициенты при необходимости до алгебраический замкнутого поля). Тогда уравнение запишется в виде:
$A_1B_1-B_1A_1=B_1,J^{-1}BJ,A_1=J^{-1}AJ$. Тогда легко убедится, что диагональные члены у приведённой матрицы $B_1$ должны быть равны 0, что и доказывает нильпотентность B.

[lofar]

Докажите, что $tr(B^k)=0$ для любого натурального $k$.

[Phoenix]

Спасибо большое!!!

[er]

интересно, для каких многочленов $f$ из $ AB-BA=f(B) $ вытекает что $B$ нильпотентна.

[er]

Задачку можно немного обобщить. Если для многочлена $f$ $ AB-BA=f(B) $, то $f(B)$ нильпотентна.

[lofar]

Если для некоторого полинома $f(x)\in K[x]$ выполняется соотношение $ AB-BA=f(B) $, то каждое собственное значение матрицы $B$ (в алгебраическом замыкании поля $K$) является корнем $f(x)$.

Пусть $f$ --- произвольный полином из $K[x]$. Следующие условия эквивалентны.
(a) ($AB-BA=f(B)$) $\Longrightarrow$ ($B$ --- нильпотентная матрица).
(b) $f(x) = x^k$ для некоторого $k\in\mathbb N$.

Добавление. Обнаружил, что мое доказательство последнего утверждения проходит если $K$ алгебраически замкнуто или если степень $f$ не превосходит размера матрицы $B$. Надо еще подумать...

[lofar]

Поторопился с предыдущим постом. Сформулирую более точный результат.

$K$ --- поле. $M_n(K)$ --- алгебра всех матриц размера $n\times n$ с коэффициентами из $K$.

Предложение. Пусть дан полином $f(x)\in K[x]$. Пусть $f = x^kp_1^{k_1}\ldots p_s^{k_s} $, где $p_1,\ldots,p_s$ --- неприводимые полиномы отличные от $x$ и $k_1,\ldots,k_s\geqslant 1$. Тогда следующие условия эквивалентны:
(a) $\forall A,B\in M_n(K)\Bigl[\bigl(AB-BA=f(B)\bigr)\Longrightarrow\bigl(B\mbox{ \em --- нильпотентная матрица}\bigr) \Bigr]$.
(b) $deg(p_1)>n,\ldots,\, deg(p_s) > n$.

[er]

lofar писал(а):

Если для некоторого полинома $f(x)\in K[x]$ выполняется соотношение $ AB-BA=f(B) $, то каждое собственное значение матрицы $B$ (в алгебраическом замыкании поля $K$) является корнем $f(x)$.

Это вроде в точности эквивалентно, тому, что $f(B)$ нильпотентна. Эти утверждения несложно выводятсяся из

Утверждение 1. Если $C=AB-BA$ комутирует с $B$, то $Af(B)-f(B)A=Cf'(B)$ для любого многочлена $f$.

Непонятно, если $C=AB-BA$ комутирует с $B$, то вытекает ли отсюда, что $C$ нильпотентна. Или хотя бы вырожденна.

Достаточно доказать для случая, когда $B$ нильпотентна.

[lofar]

Последнее утверждение если верно, то только для полей нулевой характеристики. Если $char K=p$, то единичная $p\times p$ матрица $E$ имеет нулевой след и значит представима как коммутатор: $E=AB-BA$. Ясно, что $E$ коммутирует с $B$, но не является нильпотентной.

er писал(а):

Достаточно доказать для случая, когда $B$ нильпотентна.

Почему? Поясните, пожалуйста.

[er]

lofar писал(а):

er писал(а):

Достаточно доказать для случая, когда $B$ нильпотентна.

Почему? Поясните, пожалуйста.

Поле алгебраически замкнуто.

Лемма 2. Если $C=AB-BA$ комутирует с $B$, $L=\operatorname{ker} B$ пересекается с $M=\operatorname{im} B$ по нулю, то $L$ инвариантно относительно $A$ и $C$.
Доказательство. Так как $B$ и $C$ коммутируют, то $L$ инвариантно относительно $C$. Для $v\in L$, $BAv=-Cv\in L$. Так как $L$ и $M$ пересекаются по нулю, то $BAv=0$ и $Av\in L$, то есть $L$ инвариантно относительно $A$.

Из утверждения 1 и леммы 2 вытекает, что любое корневое подпространство $B$ инвариантно относительно операторов $A$, $B$ и $C$ так что можно считать, все пространство корневое (при доказательстве гипотезы). Переходя, при необходимости, от $B$ к $B-\lambda E$, можем считать, что $B$ нильпотентна.

[er]

er писал(а):

Непонятно, если $C=AB-BA$ комутирует с $B$, то вытекает ли отсюда, что $C$ нильпотентна. Или хотя бы вырожденна.

Достаточно доказать для случая, когда $B$ нильпотентна.

Тут все просто. Так как $C^n=C^{n-1}AB-BC^{n-1}A$, то след $C^n$ равен нулю для всех $n=1,2,\dots$. Отсюда вытекает, что $C$ нильпотентна.