Если для некоторого полинома
![$f(x)\in K[x]$ $f(x)\in K[x]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/8/cf8d4d2fd6aeef95c7934243c56c80da82.png)
выполняется соотношение

, то каждое собственное значение матрицы

(в алгебраическом замыкании поля

) является корнем

.
Пусть

--- произвольный полином из
![$K[x]$ $K[x]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/0/a20d83b3d0b996bc9ef02e0862d7b0b482.png)
. Следующие условия эквивалентны.
(a) (

)

(

--- нильпотентная матрица).
(b)

для некоторого

.
Добавление. Обнаружил, что мое доказательство последнего утверждения проходит если

алгебраически замкнуто или если степень

не превосходит размера матрицы

. Надо еще подумать...