ТФКП Интеграл

[Pifi]

Доброе время суток. Не могли ли проверить задачку

Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой

$$ \int\limits_{L}\frac{\overline{z}}{z}dz; \quad L - \mbox{граница области:} \quad \{ 1<|z|<2, \quad Re z>0\}. $$

\textbf{Решение.}

$$ \int\limits_{L}\frac{\overline{z}}{z}dz=\int\limits_{L_1}\frac{\overline{z}}{z}dz+\int\limits_{L_2} \frac{\overline{z}}{z}dz+\int\limits_{L_3}\frac{\overline{z}}{z}dz+\int\limits_{L_4}\frac{\overline{z}}{z}dz. $$

Параметрическое уравнение кривой $L_1$

$$ x(t)=2\cos t, \quad y(t)=2\sin t. $$

Следовательно, комплексным параметрическим уравнением кривой $L_1$ будет

$$ z(t)=x(t)+iy(t)=2\cos t+2i\sin t=2e^{it}, \quad 0\leq t\leq \pi. $$

По формуле $\int\limits_{AB}f(z)dz=\int \limits_ {t_1}^{t_2} f\left(z(t)\right)z'(t)dt$, получаем

$$ \int\limits_{L_1}\frac{\overline{z}}{z}dz=\int \limits_ {0}^{\pi} \frac{\overline{2e^{it}}}{2e^{it}} \left(2e^{it}\right)'dt=\int \limits_ {0}^{\pi} \frac{2e^{-it}}{2e^{it}}2ie^{it}dt= 2i\int \limits_ {0}^{\pi} e^{-it}dt=-2\int \limits_ {0}^{\pi} e^{-it}d(-it)= $$

$$ =-2e^{-it}\Bigl|_{0}^{\pi}=-2(e^{-i\pi}-e^{0})=-2(\cos(-\pi)+i\sin (-\pi)-\cos 0-i\sin 0)=-2(-1-1)=4. $$

Параметрическое уравнение кривой $L_2$

$$ x(t)=t, \quad y(t)=0. $$

Следовательно, комплексным параметрическим уравнением кривой $L_2$ будет

$$ z(t)=x(t)+iy(t)= t+i\cdot 0=t, \quad -2\leq t\leq -1. $$

Получаем

$$ \int\limits_{L_2}\frac{\overline{z}}{z}dz=\int \limits_ {-2}^{-1} \frac{\overline{t}}{t} \cdot t'dt=\int \limits_ {-2}^{-1} \frac{t}{t}\cdot 1dt= \int \limits_ {-2}^{-1} dt=t\Bigl|_ {-2}^{-1}=(-1-(-2))=1. $$

Параметрическое уравнение кривой $L_3$

$$ x(t)=\cos t, \quad y(t)=\sin t. $$

Следовательно, комплексным параметрическим уравнением кривой $L_1$ будет

$$ z(t)=x(t)+iy(t)=\cos t+i\sin t=e^{it}, \quad \pi\leq t\leq 0. $$

Получаем

$$ \int\limits_{L_3}\frac{\overline{z}}{z}dz=\int \limits_ {\pi}^{0} \frac{\overline{e^{it}}}{e^{it}} \left(e^{it}\right)'dt=\int \limits_ {\pi}^{0} \frac{e^{-it}}{e^{it}}ie^{it}dt= i\int \limits_ {\pi}^{0} e^{-it}dt=-\int \limits_ {\pi}^{0} e^{-it}d(-it)= $$

$$ =-e^{-it}\Bigl|_ {\pi}^{0}=-(e^{0}-e^{-i\pi})=-(\cos 0+i\sin 0-\cos(-\pi)-i\sin (-\pi))=-(1+1)=-2. $$

Параметрическое уравнение кривой $L_4$

$$ x(t)=t, \quad y(t)=0. $$

Следовательно, комплексным параметрическим уравнением кривой $L_4$ будет

$$ z(t)=x(t)+iy(t)= t+i\cdot 0=t, \quad 1\leq t\leq 2. $$

Получаем

$$ \int\limits_{L_4}\frac{\overline{z}}{z}dz=\int \limits_{1}^{2} \frac{\overline{t}}{t} \cdot t'dt=\int \limits_{1}^{2} \frac{t}{t}\cdot 1dt= \int \limits_{1}^{2} dt=t\Bigl|_{1}^{2}=(2-1)=1. $$

Т.о.,

$$ \int\limits_{L}\frac{\overline{z}}{z}dz=\int\limits_{L_1}\frac{\overline{z}}{z}dz+\int\limits_{L_2} \frac{\overline{z}}{z}dz+\int\limits_{L_3}\frac{\overline{z}}{z}dz+\int\limits_{L_4}\frac{\overline{z}}{z}dz= 4+1-2+1=4. $$

[ShMaxG]

Откуда у вас такие $L_1, L_2$? Да еще и запараметризованы не правильно.(Наверно спутали с $\text{Im}z>0$) В $L_1$, например, $t$ должен пробегать значения от $- \pi/2$ до $\pi/2$.

[ewert]

ShMaxG в сообщении #278957 писал(а):

Хм, может я чего-то путаю, но интеграл по границе односвязной области, в которой функция регулярна (и т.д.) равен нулю.

ну, дело в том, что функция-то не регулярна.

Другое дело, что параметризации какие-то странные. На оси она должна быть, естественно, очевидной. А на полуокружностях -- не менее очевидно, $z=r\,e^{i\varphi}$, с соотв-ми э$r$-ами.

[Pifi]

ShMaxG в сообщении #278957 писал(а):

Откуда у вас такие $L_1, L_2$? Да еще и запараметризованы не правильно.(Наверно спутали с $\text{Im}z>0$) В $L_1$, например, $t$ должен пробегать значения от $- \pi/2$ до $\pi/2$.

Ой, действительно перепутал. Область не правильно написал.

ewert в сообщении #278969 писал(а):

ShMaxG в сообщении #278957 писал(а):

Хм, может я чего-то путаю, но интеграл по границе односвязной области, в которой функция регулярна (и т.д.) равен нулю.

ну, дело в том, что функция-то не регулярна.

Другое дело, что параметризации какие-то странные. На оси она должна быть, естественно, очевидной. А на полуокружностях -- не менее очевидно, $z=r\,e^{i\varphi}$, с соотв-ми э$r$-ами.

Я же тоже взял $z=2e^{it}$, $z=e^{it}$, только сначала написал параметрические уравнения окружностей. А так будет неправильно?

-- Сб янв 09, 2010 20:12:52 --

Интеграл по $L_1$ (полуокружность радиуса 2)

$$ \int\limits_{L_1}\frac{\overline{z}}{z}dz=\int \limits_ {-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\overline{2e^{it}}}{2e^{it}}\left(2e^{it}\right)'dt=\int \limits_ {-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2e^{-it}}{2e^{it}}2ie^{it}dt=2i\int \limits_ {-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} e^{-it}dt= $$

$$ =-2\int \limits_ {-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} e^{-it}d(-it)= -2e^{-it}\Bigl|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=-2(e^{-i\frac{\pi}{2}}-e^{\frac{\pi}{2}})= -2\left(\cos \left( -\frac{\pi}{2}\right)+i\sin \left( -\frac{\pi}{2}\right)-\cos \frac{\pi}{2}- i\sin \frac{\pi}{2}\right)=-2(-i-i)=4i. $$

[ShMaxG]

По $L_1$ - правильно. Осталось по остальным.

[Pifi]

ShMaxG в сообщении #279003 писал(а):

По $L_1$ - правильно. Осталось по остальным.

Интеграл по $L_3$ (полуокружность радиуса 1)

$$ \int\limits_{L_2}\frac{\overline{z}}{z}dz=\int \limits_ {\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} \frac{\overline{e^{it}}}{e^{it}}\left(e^{it}\right)'dt=\int \limits_ {\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} \frac{e^{-it}}{e^{it}}ie^{it}dt=i\int \limits_ {\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} e^{-it}dt= $$

$$ =-\int \limits_ {\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} e^{-it}d(-it)= -e^{-it}\Bigl|_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}}=-(e^{i\frac{\pi}{2}}-e^{-\frac{\pi}{2}})= -\left(\cos \frac{\pi}{2}+ i\sin \frac{\pi}{2}-\cos \left( -\frac{\pi}{2}\right)-i\sin \left( -\frac{\pi}{2}\right)\right)=-(i+i)=-2i. $$

[ShMaxG]

По $L_3$ - правильно.

[Pifi]

Спасибо, вроде разобрался!

[ShMaxG]

Ответ должен быть $4i$ (на всякий случай).