2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 ТФКП Интеграл
Сообщение09.01.2010, 18:00 
Доброе время суток. Не могли ли проверить задачку

Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой
$$
\int\limits_{L}\frac{\overline{z}}{z}dz; \quad L - \mbox{граница области:} \quad \{ 1<|z|<2, \quad Re z>0\}.
$$

\textbf{Решение.}
$$
\int\limits_{L}\frac{\overline{z}}{z}dz=\int\limits_{L_1}\frac{\overline{z}}{z}dz+\int\limits_{L_2}
\frac{\overline{z}}{z}dz+\int\limits_{L_3}\frac{\overline{z}}{z}dz+\int\limits_{L_4}\frac{\overline{z}}{z}dz.
$$

Параметрическое уравнение кривой $L_1$
$$
x(t)=2\cos t, \quad y(t)=2\sin t.
$$
Следовательно, комплексным параметрическим уравнением кривой $L_1$ будет
$$
z(t)=x(t)+iy(t)=2\cos t+2i\sin t=2e^{it}, \quad 0\leq t\leq \pi.
$$
По формуле $\int\limits_{AB}f(z)dz=\int \limits_ {t_1}^{t_2} f\left(z(t)\right)z'(t)dt$, получаем
$$
\int\limits_{L_1}\frac{\overline{z}}{z}dz=\int \limits_ {0}^{\pi} \frac{\overline{2e^{it}}}{2e^{it}}
\left(2e^{it}\right)'dt=\int \limits_ {0}^{\pi} \frac{2e^{-it}}{2e^{it}}2ie^{it}dt=
2i\int \limits_ {0}^{\pi} e^{-it}dt=-2\int \limits_ {0}^{\pi} e^{-it}d(-it)=
$$
$$
=-2e^{-it}\Bigl|_{0}^{\pi}=-2(e^{-i\pi}-e^{0})=-2(\cos(-\pi)+i\sin (-\pi)-\cos 0-i\sin 0)=-2(-1-1)=4.
$$

Параметрическое уравнение кривой $L_2$
$$
x(t)=t, \quad y(t)=0.
$$
Следовательно, комплексным параметрическим уравнением кривой $L_2$ будет
$$
z(t)=x(t)+iy(t)= t+i\cdot 0=t, \quad -2\leq t\leq -1.
$$
Получаем
$$
\int\limits_{L_2}\frac{\overline{z}}{z}dz=\int \limits_ {-2}^{-1} \frac{\overline{t}}{t}
\cdot t'dt=\int \limits_ {-2}^{-1} \frac{t}{t}\cdot 1dt=
\int \limits_ {-2}^{-1} dt=t\Bigl|_ {-2}^{-1}=(-1-(-2))=1.
$$

Параметрическое уравнение кривой $L_3$
$$
x(t)=\cos t, \quad y(t)=\sin t.
$$
Следовательно, комплексным параметрическим уравнением кривой $L_1$ будет
$$
z(t)=x(t)+iy(t)=\cos t+i\sin t=e^{it}, \quad \pi\leq t\leq 0.
$$
Получаем
$$
\int\limits_{L_3}\frac{\overline{z}}{z}dz=\int \limits_ {\pi}^{0} \frac{\overline{e^{it}}}{e^{it}}
\left(e^{it}\right)'dt=\int \limits_ {\pi}^{0} \frac{e^{-it}}{e^{it}}ie^{it}dt=
i\int \limits_ {\pi}^{0} e^{-it}dt=-\int \limits_ {\pi}^{0} e^{-it}d(-it)=
$$
$$
=-e^{-it}\Bigl|_ {\pi}^{0}=-(e^{0}-e^{-i\pi})=-(\cos 0+i\sin 0-\cos(-\pi)-i\sin (-\pi))=-(1+1)=-2.
$$

Параметрическое уравнение кривой $L_4$
$$
x(t)=t, \quad y(t)=0.
$$
Следовательно, комплексным параметрическим уравнением кривой $L_4$ будет
$$
z(t)=x(t)+iy(t)= t+i\cdot 0=t, \quad 1\leq t\leq 2.
$$
Получаем
$$
\int\limits_{L_4}\frac{\overline{z}}{z}dz=\int \limits_{1}^{2} \frac{\overline{t}}{t}
\cdot t'dt=\int \limits_{1}^{2} \frac{t}{t}\cdot 1dt=
\int \limits_{1}^{2} dt=t\Bigl|_{1}^{2}=(2-1)=1.
$$

Т.о.,
$$
\int\limits_{L}\frac{\overline{z}}{z}dz=\int\limits_{L_1}\frac{\overline{z}}{z}dz+\int\limits_{L_2}
\frac{\overline{z}}{z}dz+\int\limits_{L_3}\frac{\overline{z}}{z}dz+\int\limits_{L_4}\frac{\overline{z}}{z}dz=
4+1-2+1=4.
$$

 
 
 
 Re: ТФКП Интеграл
Сообщение09.01.2010, 18:45 
Аватара пользователя
Откуда у вас такие $L_1, L_2$? Да еще и запараметризованы не правильно.(Наверно спутали с $\text{Im}z>0$) В $L_1$, например, $t$ должен пробегать значения от $- \pi/2$ до $\pi/2$.

 
 
 
 Re: ТФКП Интеграл
Сообщение09.01.2010, 19:04 
ShMaxG в сообщении #278957 писал(а):
Хм, может я чего-то путаю, но интеграл по границе односвязной области, в которой функция регулярна (и т.д.) равен нулю.

ну, дело в том, что функция-то не регулярна.

Другое дело, что параметризации какие-то странные. На оси она должна быть, естественно, очевидной. А на полуокружностях -- не менее очевидно, $z=r\,e^{i\varphi}$, с соотв-ми э$r$-ами.

 
 
 
 Re: ТФКП Интеграл
Сообщение09.01.2010, 20:00 
ShMaxG в сообщении #278957 писал(а):
Откуда у вас такие $L_1, L_2$? Да еще и запараметризованы не правильно.(Наверно спутали с $\text{Im}z>0$) В $L_1$, например, $t$ должен пробегать значения от $- \pi/2$ до $\pi/2$.


Ой, действительно перепутал. :oops: Область не правильно написал.

ewert в сообщении #278969 писал(а):
ShMaxG в сообщении #278957 писал(а):
Хм, может я чего-то путаю, но интеграл по границе односвязной области, в которой функция регулярна (и т.д.) равен нулю.

ну, дело в том, что функция-то не регулярна.

Другое дело, что параметризации какие-то странные. На оси она должна быть, естественно, очевидной. А на полуокружностях -- не менее очевидно, $z=r\,e^{i\varphi}$, с соотв-ми э$r$-ами.


Я же тоже взял $z=2e^{it}$, $z=e^{it}$, только сначала написал параметрические уравнения окружностей. А так будет неправильно?

-- Сб янв 09, 2010 20:12:52 --

Интеграл по $L_1$ (полуокружность радиуса 2)
$$
\int\limits_{L_1}\frac{\overline{z}}{z}dz=\int \limits_ {-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 
\frac{\overline{2e^{it}}}{2e^{it}}\left(2e^{it}\right)'dt=\int \limits_ {-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 
\frac{2e^{-it}}{2e^{it}}2ie^{it}dt=2i\int \limits_ {-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} e^{-it}dt=
$$
$$
=-2\int \limits_ {-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} e^{-it}d(-it)=
-2e^{-it}\Bigl|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=-2(e^{-i\frac{\pi}{2}}-e^{\frac{\pi}{2}})=
-2\left(\cos \left( -\frac{\pi}{2}\right)+i\sin \left( -\frac{\pi}{2}\right)-\cos  \frac{\pi}{2}-
i\sin  \frac{\pi}{2}\right)=-2(-i-i)=4i.
$$

 
 
 
 Re: ТФКП Интеграл
Сообщение09.01.2010, 20:16 
Аватара пользователя
По $L_1$ - правильно. Осталось по остальным.

 
 
 
 Re: ТФКП Интеграл
Сообщение09.01.2010, 21:25 
ShMaxG в сообщении #279003 писал(а):
По $L_1$ - правильно. Осталось по остальным.


Интеграл по $L_3$ (полуокружность радиуса 1)
$$
\int\limits_{L_2}\frac{\overline{z}}{z}dz=\int \limits_ {\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} 
\frac{\overline{e^{it}}}{e^{it}}\left(e^{it}\right)'dt=\int \limits_ {\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} 
\frac{e^{-it}}{e^{it}}ie^{it}dt=i\int \limits_ {\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} e^{-it}dt=
$$
$$
=-\int \limits_ {\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} e^{-it}d(-it)=
-e^{-it}\Bigl|_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}}=-(e^{i\frac{\pi}{2}}-e^{-\frac{\pi}{2}})=
-\left(\cos  \frac{\pi}{2}+
i\sin  \frac{\pi}{2}-\cos \left( -\frac{\pi}{2}\right)-i\sin \left( -\frac{\pi}{2}\right)\right)=-(i+i)=-2i.
$$

 
 
 
 Re: ТФКП Интеграл
Сообщение09.01.2010, 21:29 
Аватара пользователя
По $L_3$ - правильно.

 
 
 
 Re: ТФКП Интеграл
Сообщение09.01.2010, 23:11 
Спасибо, вроде разобрался! :D

 
 
 
 Re: ТФКП Интеграл
Сообщение09.01.2010, 23:13 
Аватара пользователя
Ответ должен быть $4i$ (на всякий случай).

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group