Триг. уравнение с параметром [проверьте]

[ewert]

И даже к этому при желании можно придраться (и ведь некоторые придираются!): при некоторых граничных значениях параметра ветви арксинуса склеиваются -- и, дескать, эти значения следует выделять в особые случаи...

[Koftochka]

Всем спасибо!

ewert в [url=http:;//dxdy.ru/post278828.html#p278828]сообщении #278828[/url] писал(а):

И даже к этому при желании можно придраться (и ведь некоторые придираются!): при некоторых граничных значениях параметра ветви арксинуса склеиваются -- и, дескать, эти значения следует выделять в особые случаи...

А как тогда корректней всего записать ответ??


Хорошо хоть подобное не попалось у меня на вступительном, а тож всё - завилили бы на равном месте.

[ewert]

Ну примерно так (основной текст стырен у gris; пардон, если какие детали напутал):


При $a \notin\!\left[-1-\sqrt 2;\,\frac{5}{4}\right]$ корней нет.

При $a=-1-\sqrt 2\quad x = - \frac{\pi}{4}+\pi k,~k \in \mathbb{Z},$.

При $a \in\!(-1-\sqrt 2 ;\sqrt 2 -1)\quad x = (- 1)^k \arcsin \frac{\sqrt 2 -\sqrt {10-8a}}{4} + \frac{\pi}{4}+\pi k,~k \in \mathbb{Z},$.

При $a=\sqrt 2 -1\quad x= (- 1)^k \arcsin \frac{\sqrt 2 -\sqrt {10-8a}}{4} + \frac{\pi}{4}+\pi k \ \text{или}\ x=\frac{3\pi}{4}+\pi k,~k \in \mathbb{Z} $.

При $a \in\!\left(\sqrt 2 -1;\,\frac{5}{4}\right)\quad x= (- 1)^k \arcsin \frac{\sqrt 2 \pm\sqrt {10-8a}}{4} + \frac{\pi}{4}+\pi k,~k \in \mathbb{Z} $.

При $a=\frac{5}{4}\quad x= (- 1)^k \arcsin \frac{\sqrt 2}{4} + \frac{\pi}{4}+\pi k,~k \in \mathbb{Z} $.


Но Вы не паникуйте, не все такие злыдни (хотя некоторые и встречаются), большинство на эти нюансы внимания не обращают.

[gris]

Я бы здесь придрался к "или"
Надо его заменить просто на ";".
И случай $a=-1-\sqrt2$ выделять нет смысла.
Вот $a=\frac54$ можно.

:с хохотом убегая от града летящих лучей п-а:

[ewert]

gris в сообщении #278896 писал(а):

И случай $a=-1-\sqrt2$ выделять нет смысла.
Вот $a=\frac54$ можно.

А в чём разница-то? Во втором случае четыре корня на каждом периоде слипаются в два, в первом -- два в один. Ровно один и тот же эффект.

[gris]

При $a=-1-\sqrt 2$

$x = (- 1)^k \arcsin \frac{\sqrt 2 -\sqrt {10+8+8\sqrt 2}}{4} + \frac{\pi}{4}+\pi k =$

$=(- 1)^k \arcsin \frac{\sqrt 2 -\sqrt {18+2\sqrt 32}}{4} + \frac{\pi}{4}+\pi k =$

$ (- 1)^k \arcsin \frac{\sqrt 2 -(4+\sqrt 2)}{4} + \frac{\pi}{4}+\pi k =$

$=(- 1)^k \arcsin (-1) + \frac{\pi}{4}+\pi k =$

$=(- 1)^k \cdot-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}+\pi k$

Вы правы, получается дублирование корней. Так что случай $a=-1-\sqrt 2$ надо выделять.