Триг. уравнение с параметром [проверьте]

[Koftochka]

Помогаю брату (10-й класс) с ДЗ, осталось последнее сложное задание:

Решите уравнение $\sin 2x + \sin x = a + \cos x$, где $a$ – параметр, а также укажите, при каких значениях $a$ уравнение имеет вещественные корни.

У меня получилось

\[x_{1,2} = (-1)^k \arcsin \frac{\sqrt 2 \pm \sqrt{10-8a}}{4} + \frac{\pi}{4}(4k+1}),~k \in \mathbb{Z} \, \wedge \, a \in \! \left[\sqrt 2 -1;\,\frac{5}{4}\right].\[

Проверяла в Wolframalpha и в Maple_13, но не разобралась в их ответах.

Проверьте, пожалуйста!

[gris]

Выразить синус двойного угла и разность косинуса и синуса через $\sin (x-\frac{\pi}{4})$.

-- Сб янв 09, 2010 12:09:49 --

В квадратном уравнении относительно этого синуса проверить неотрицательность дискриминанта и существование арксинуса.

[Koftochka]

И что это даёт??

Ответ мой верный?

P.S. Если нужно, опубликую своё решение.

Заранее спасибо!

[gris]

А как ещё можно решить эту задачу?
Тут слишком уж явно напрашивается $\sin 2x= \cos (2x-\frac {\pi}{2})=...$
и $\cos x -\sin x=\sqrt2\cdot\sin...$
Сделайте аккуратно. Ответ похож на правильный.

[ewert]

Koftochka в сообщении #278784 писал(а):

У меня получилось

\[x_{1,2} = (-1)^k \arcsin \frac{\sqrt 2 \pm \sqrt{10-8a}}{4} + \frac{\pi}{4}(4k+1}),~k \in \mathbb{Z} \, \wedge \, a \in \! \left[\sqrt 2 -1;\,\frac{5}{4}\right].\[

Ну что-то похожее на правду, только у меня получилось аналогичное решение с арккосинусами, а в нюансы со знаками я не вникал.

Тут, правда, есть одно обстоятельство. Ваша нижняя граница для параметра отвечает требованию корректности в этой формуле обоих вариантов решения -- и с плюсом, и с минусом. А для просто наличия решений можно продолжить параметр и дальше вниз -- вплоть до $(1-\sqrt2)$.

[Koftochka]

gris в сообщении #278793 писал(а):

А как ещё можно решить эту задачу?

Ну, если уж совсем извращаться, то можно сделать универсальную замену))

Конечно, спасибо за помощь, но я не понимаю, что с этим делать

Цитата:

Тут слишком уж явно напрашивается $\sin 2x= \cos (2x-\frac {\pi}{2})=...$
и $\cos x -\sin x=\sqrt2\cdot\sin...$
Сделайте аккуратно.

[RIP]

ewert в сообщении #278794 писал(а):

А для просто наличия решений можно продолжить параметр и дальше вниз -- вплоть до $(1-\sqrt2)$.

Только до $(-1-\sqrt2)$.

[gris]

Да вы что?
У меня нету бумаги с ручкой, а решать в уме, как Некоторые я не умею.
Ну ладно. $\cos 2(x-\frac{\pi}4)=\dfrac{1-\sin^2(x-\frac{\pi}4)}2$
Далее обозначим $t=\sin(x-\frac{\pi}4)$. Получим квадратное уравнение на $t$. Найдём условие существования корней. А потом для каждого корня по отдельности найдём его попадание в интервал от -1 до 1. Объединение этих условий и даст ответ.

Короче, вываливайте Ваше решение, по нему и проверим

[ewert]

RIP в сообщении #278798 писал(а):

ewert в сообщении #278794 писал(а):

А для просто наличия решений можно продолжить параметр и дальше вниз -- вплоть до $(1-\sqrt2)$.

Только до $(-1-\sqrt2)$.

И правда, зевнул.

[Koftochka]

Я решала так [проверьте решение на правильность]:

\[\begin{gathered} \sin 2x + \sin x = a + \cos x \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \sin x - \cos x = a - 1 + {\sin ^2}x - 2\sin x\cos x + \cos x \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \sin x - \cos x = a - 1 + {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \bigl\{ \sin x - \cos x = t\bigl\} \Leftrightarrow t^2 - t + a - 1 = 0 \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow t_{1,2} = \frac{{1 \pm \sqrt {1 - 4\left( {a - 1} \right)} }} {2} \Leftrightarrow \sin x - \cos x = \frac{{1 \pm \sqrt {5 - 4a} }} {2} \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi } {4}} \right) = \frac{{1 \pm \sqrt {5 - 4a} }} {2} \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow {x_{1,2}} = {\left( { - 1} \right)^k}\arcsin \frac{{\sqrt 2 \pm \sqrt {10 - 8a} }} {4} + \frac{\pi } {4}\left( {4k + 1} \right),{\text{ }}k \in \mathbb{Z}. \hfill \\ \left| {\frac{{1 \pm \sqrt {5 - 4a} }} {2}} \right| \leqslant \sqrt 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - \sqrt 2 \leqslant \frac{{1 + \sqrt {5 - 4a} }} {2} \leqslant \sqrt 2 , \hfill \\ a \leqslant \frac{5} {4}; \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \sqrt 2 -1 \leqslant a \leqslant \frac{5} {4}. \hfill \\ \\ x_{1,2} = (-1)^k \arcsin \frac{\sqrt 2 \pm \sqrt {10-8a}}{4} + \frac{\pi}{4}(4k + 1),{\text{ }}k \in \mathbb{Z} \, \wedge \, a \in \left[\sqrt 2 -1;\,\frac{5}{4}\right].\hfill \\ \end{gathered}\[

[gris]

Всё правильно до момента, когда проверяете условие $|...|\leqslant\sqrt2$. Вы проверяете сразу для двух серий корней. А корни надо разделить и искать условие существования арксинуса отдельно для каждого. То есть не $\pm$, а отдельно +, отдельно -.


$ \left| \frac{{1- \sqrt {5 - 4a} }} {2} \right| \leqslant \sqrt 2 $

или

$ \left| \frac{{1+ \sqrt {5 - 4a} }} {2} \right| \leqslant \sqrt 2 $

При выполнении хотя бы одного из этих условий решение будет существовать.

И видно, что на самом деле надо проверить только условие с минусом
А не с плюсом, как сделали Вы.

[Koftochka]

Т.е. ответ должен быть такой??

\[x = (- 1)^k \arcsin \frac{\sqrt 2 -\sqrt {10-8a}}{4} + \frac{\pi}{4}(4k+1),~k \in \mathbb{Z} \, \wedge \, a \in\!\left[-1-\sqrt 2 ;\,\frac{5}{4}\right]
или
\[x= (- 1)^k \arcsin \frac{\sqrt 2 +\sqrt {10-8a}}{4} + \frac{\pi}{4}(4k+1),~k \in \mathbb{Z} \, \wedge \, a \in\!\left[\sqrt 2 -1;\,\frac{5}{4}\right]. \[

[gris]

Да. При выполнении второго условия автоматически выполняется первое, но добавляется ещё одна серия корней.

Я бы написал ответ так:

\[x = (- 1)^k \arcsin \frac{\sqrt 2 -\sqrt {10-8a}}{4} + \frac{\pi}{4}(4k+1),~k \in \mathbb{Z} \, \wedge \, a \in\![-1-\sqrt 2 ;\sqrt 2 -1);\,

\[x= (- 1)^k \arcsin \frac{\sqrt 2 \pm\sqrt {10-8a}}{4} + \frac{\pi}{4}(4k+1),~k \in \mathbb{Z} \, \wedge \, a \in\!\left[\sqrt 2 -1;\,\frac{5}{4}\right]. \[

Корни существуют при $a \in\!\left[-1-\sqrt 2;\,\frac{5}{4}\right]$

[RIP]

Вот только ответ записан не очень хорошо, могут придраться (я бы придрался). Лучше писать как-нибудь так: если $a$ такое-то, то решения такие-то; если же $a$ эдакое, то решения вот какие...

-- Сб 09.1.2010 13:17:48 --

Всё-таки $a$ --- это параметр уравнения, а в Ваших ответах он выступает, как свободный параметр наравне с $k$.

[gris]

Тогда так:

Корни существуют при $a \in\!\left[-1-\sqrt 2;\,\frac{5}{4}\right]$

При $a \in\![-1-\sqrt 2 ;\sqrt 2 -1)\quad x = (- 1)^k \arcsin \frac{\sqrt 2 -\sqrt {10-8a}}{4} + \frac{\pi}{4}(4k+1),~k \in \mathbb{Z},$

При $a \in\!\left[\sqrt 2 -1;\,\frac{5}{4}\right]\quad x= (- 1)^k \arcsin \frac{\sqrt 2 \pm\sqrt {10-8a}}{4} + \frac{\pi}{4}(4k+1),~k \in \mathbb{Z} $