применение теоремы рисса

[fish-ka]

Помогите с задачей на теорему Рисса:
Если К - компакт, то поточечно сходящаяся ограниченная последовательность в С(К) сходится в слабой топологии, и обратно.

В одну сторону получается довольно просто:
для произвольного заряда из поточечной сходимости последовательности функций
\forall t\in K f_n(t)\to f(t)
по теореме Лебега следует что и соответствующие интегралы сходятся
\int_{K} f_n\ d\mu \ \to \int_{K} f\ d\mu
а по теореме Рисса (которая утверждает что любой непрерывный линейный функционал \phi на пространстве С(К) предстваляется в виде \phi (f)=\int_{K} f\ d\mu )

это означает что
\phi (f_n) \to \phi (f)

то есть действительно есть слабая сходимость.

Помогите пожалуйста доказать в обратную сторону.

[Padawan]

В обратную сторону ещё проще. Ключевое слово - дельта-мера.

[fish-ka]

А поподробней можно?

[Padawan]

Рассмотрим единичную меру $\delta(x_0)$, сосредоточенную в одной точке $x_0$. Тогда последовательность $\int f_nd\delta=f_n(x_0)$ по условию сходится.

[fish-ka]

Понятно, спасибо!