2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 применение теоремы рисса
Сообщение09.01.2010, 15:08 
Помогите с задачей на теорему Рисса:
Если К - компакт, то поточечно сходящаяся ограниченная последовательность в С(К) сходится в слабой топологии, и обратно.

В одну сторону получается довольно просто:
для произвольного заряда из поточечной сходимости последовательности функций
\forall t\in K    f_n(t)\to f(t)
по теореме Лебега следует что и соответствующие интегралы сходятся
\int_{K} f_n\ d\mu \ \to \int_{K} f\ d\mu
а по теореме Рисса (которая утверждает что любой непрерывный линейный функционал \phi на пространстве С(К) предстваляется в виде \phi (f)=\int_{K} f\ d\mu )

это означает что
\phi (f_n) \to \phi (f)

то есть действительно есть слабая сходимость.

Помогите пожалуйста доказать в обратную сторону.

 
 
 
 Re: применение теоремы рисса
Сообщение09.01.2010, 16:10 
В обратную сторону ещё проще. Ключевое слово - дельта-мера.

 
 
 
 Re: применение теоремы рисса
Сообщение09.01.2010, 16:28 
А поподробней можно?

 
 
 
 Re: применение теоремы рисса
Сообщение09.01.2010, 17:45 
Рассмотрим единичную меру $\delta(x_0)$, сосредоточенную в одной точке $x_0$. Тогда последовательность $\int f_nd\delta=f_n(x_0)$ по условию сходится.

 
 
 
 Re: применение теоремы рисса
Сообщение09.01.2010, 18:07 
Понятно, спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group