Гипотеза Эйлера

[sceptic]

shwedka писал(а):

у нас в библиотеке есть толстая книга Серпинского 'элементарная теория чисел, фрагментом которой является цитированная брошюрка.

Нет желания ее отсканироваь? Ее, кажется еще нигде в Сети нет.

[maxal]

shwedka в сообщении #158383 писал(а):

Если не забуду, посмотрю в понедельник на работе, у нас в библиотеке есть толстая книга Серпинского 'элементарная теория чисел, фрагментом которой является цитированная брошюрка.

В сети легко найти английский перевод Sierpinski W. "Elementary theory of numbers" (Warszawa, 1964), но в нем гипотеза Эйлера упомянута вскользь и ссылки на результат Ward'а нет вообще.

[shwedka]

На такие подвиги я не способна.

[maxal]

Вот первая попавшаяся ссылка на "Elementary theory of numbers":
http://www.dleex.com/details/?4681

[sceptic]

Я имел ввиду польское издание (на польском языке). Мне почему-то показалось, что shwedka говорила о нем. Глюк, однако .
shwedka, когда будете в понедельник в библиотеке, посмотрите, пожалуста, реквизиты издания книги Серпинского, которую Вы предполагаете смотреть.

[juna]

А есть ли у кого-нибудь Opera omnia Эйлера с арифметическими исследованиями на английском?

[maxal]

juna писал(а):

А есть ли у кого-нибудь Opera omnia Эйлера с арифметическими исследованиями на английском?

Так в местой же библиотеке есть: http://lib.mexmat.ru/series/9

[juna]

В местной на немецком, а я его уже совсем не помню

[age]

Гипотеза (усиление гипотезы Эйлера):
всякую натуральную степень $n$ можно разложить в виде суммы $\left[\dfrac n2+1\right]$ $n$-степеней других натуральных чисел - если $n$-четно. И $\left[\dfrac{n+1}{2}+1\right]$ - если $n$ нечетно.
И нельзя в виде меньшей суммы.

Во всяком случае, расширение гипотезы Биля с помощью предложенного метода для них работает безукоризненно! Практически все уравнения:
$x^n+a_1^m+a_2^k+...+a_{\frac n2}^v=p^n$ - разрешимы при $m,k,v,...\geq n$
Отсюда и предположение, что
$x^n+a_1^n+a_2^n+...+a_{\frac n2}^n=p^n$ - также разрешимы.

И еще одно предположение:
Если $m<n$, то уравнение
$x^m+a_1^k+a_2^u+...+a_{\frac n2}^v=p^r$ - разрешимо, где $k,u,v,r$ - любые.

[maxal]

age в сообщении #278535 писал(а):

Гипотеза (усиление гипотезы Эйлера):
всякую натуральную степень $n$ можно разложить в виде суммы $\left[\dfrac n2+1\right]$ $n$-степеней других натуральных чисел - если $n$-четно. И $\left[\dfrac{n+1}{2}+1\right]$ - если $n$ нечетно.

Ваша гипотеза, скорее всего, неверна уже для $n=6$.
По крайней мере, из abc-гипотезы следует, что для бесконечности числа решений количество $n$-х степеней в уравнении должно быть как минимум $n$. А у вас для $n=6$ количество степеней равно лишь 5.

[age]

maxal
Понимаю, что это звучит высокопарно, но мне кажется, что моя гипотеза верна. А что говорит $abc$-гипотеза, скажем, об уравнениях
$x^6+y^7+z^7+p^6=q^6$
$x^6+y^6+z^7+p^8=q^6$?

[maxal]

age в сообщении #278544 писал(а):

А что говорит $abc$-гипотеза, скажем, об уравнениях
$x^6+y^7+z^7+p^6=q^6$
$x^6+y^6+z^7+p^8=q^6$?

Тут нужно аккуратно проверять взаимную (не)простоту показателей.
Навскидку первое может иметь лишь конечное число решений.

Для второго решения строятся - вот параметрическая серия частных решений:

$$\begin{cases} x = a\cdot (d^6-a^6-b^6-c^8)^8\\ y = b\cdot (d^6-a^6-b^6-c^8)^8\\ z = (d^6-a^6-b^6-c^8)^7\\ p = c\cdot (d^6-a^6-b^6-c^8)^6\\ q = d\cdot (d^6-a^6-b^6-c^8)^8\end{cases}$$

[age]

maxal
Но тогда и для
$x^6+y^6+z^7+p^6=q^6$
аналогично строится решение:
$\begin{cases} x = a\cdot (d^6-a^6-b^6-c^6)^8\\ y = b\cdot (d^6-a^6-b^6-c^6)^8\\ z = (d^6-a^6-b^6-c^6)^7\\ p = c\cdot (d^6-a^6-b^6-c^6)^8\\ q = d\cdot (d^6-a^6-b^6-c^6)^8\end{cases}$

А согласитесь!
$x^6+y^6+z^7+p^6=q^6$ очень близко к
$x^6+y^6+z^6+p^6=q^6$!

Хотя, в данном случае числа $x,y,z,p,q$ - не взаимно простые. А это противоречит гипотезе Биля (имеется в виду ее расширению на число слагаемых, большее двух).

Интересно бы найти решение, чтобы хотя бы два числа из $x,y,z,p,q$ были взаимно простыми.

[maxal]

age в сообщении #278573 писал(а):

А согласитесь!
$x^6+y^6+z^7+p^6=q^6$ очень близко к
$x^6+y^6+z^6+p^6=q^6$!

Не соглашусь. Наличие 7-ки в первом уравнении (которая взаимно-проста со всеми остальными показателями) существенно меняет дело. Случай, когда все показатели равны между собой, в некотором смысле самый сложный.

-- Fri Jan 08, 2010 11:19:41 --

Кстати, для 6-й степени неизвестно даже, имеет ли нетривиальное целочисленное решение уравнение:

$$x_1^6 + x_2^6 + x_3^6 + x_4^6 + x_5^6 = y^6.$$

А вы пытаетесь сократить число неизвестных.

[grisania]

sceptic в сообщении #158388 писал(а):

shwedka писал(а):

у нас в библиотеке есть толстая книга Серпинского 'элементарная теория чисел, фрагментом которой является цитированная брошюрка.

Нет желания ее отсканироваь? Ее, кажется еще нигде в Сети нет.

Есть в сети Elementary theory of numbers, Wacław Sierpiński, Warszawa 1964
http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?to ... =10&jez=pl
Находится как Tom 42 в "Kolekcja Matematyczna. Monografie Matematyczne"
http://matwbn.icm.edu.pl/ksspis.php?wyd=10&jez=pl

В этой коллекции много интересных книг