Конечный порядок элемента в группе C^*

[Ryabsky]

При каких $a, b \in \mathbb{Z}$ число $\frac{a+bi}{a-bi}$ имеет конечный порядок в $\mathbb{C^*}$?

Несложно убедиться в том, что $\left|\frac{a+bi}{a-bi}\right| = 1$, а значит при любых $a, b \in \mathbb{Z}$ элемент принадлежит группе корней из единицы (что необходимо для выполнения конечности порядка).

Далее, если элемент имеет конечный порядок, то должно существовать такое $n \in \mathbb{N}$, что $\left(\frac{a+bi}{a-bi}\right)^n = 1$.
$(a+bi)^n = (a-bi)^n$
$\cos(n \varphi) + i \sin(n \varphi) = \cos(n \varphi) - i \sin(n \varphi)$

В итоге имеем вполне ясное условие:
$\sin(n \varphi) = 0$, причем $\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Как мне дальше найти такие конкретные $a$ и $b$? Условие указывает на то, что придется расписывать $\sin(n \varphi)$ через $\sin \varphi$, получится суровый полином, а дальше вообще не знаю что делать и как размышлять.

[passs]

Вроде получается $\cos \varphi = \frac {a^2-b^2} {a^2+b^2} $. Далее исследуйте вопрос о том, какие рациональные корни может иметь уравнение $\cos n\varphi = 1$.

[Cave]

Ryabsky
$a+bi$ и $a-bi$ равны с точностью до обратимого элемента.
Для доказательства рассмотрите разложение на простые $(a+bi)^n = (a-bi)^n$ в кольце $\mathbb{Z}[i]$.