Слабо сходящаяся последовательность линейных операторов

[Padawan]

Пусть в банаховом пространстве $E$ задана последовательность $\{A_n\}$ непрерывных линейных операторов $A_n\colon E\to E$, $n=1,2,\ldots$. Известно, что эта последовательность слабо сходится к тождественному оператору $A_n\mathop{\longrightarrow}\limits^w I$, т.е. для любого вектора $x\in E$ и любого непрерывного линейного функционала $f\in E^\ast$ выполнено $f(A_nx)\to f(x)$, $n\to\infty$. Требуется доказать, что для любого $x_0\in E$ существуют последовательность элементов $x_k\in E$и подпоследовательность $\{A_{n_k}\}\subset\{A_n\}$ такие, что $A_{n_k}(x_k)\to x_0, k\to\infty$ по норме $E$. Либо построить соответствующий контрпример.

Хорошо было бы, если $x_k$ можно выбрать слабо сходящейся к $x_0$.

[terminator-II]

Это не доказательство, это просто наблюдения чтоб не забыть, а то бумаги под рукой нет.

Из стандартной теоремы следует, что $\sup_n\|A_nx\|<\infty$ при любом $x$. Из принципа равномерной ограниченности следует, что $\sup_n\|A_n\|\le c<\infty$.

[Padawan]

Насчет равномерной ограниченности полностью согласен.

Вот пример слабо сходящейся последовательности операторов $A_nx=x+a_n\cdot h(x)$, где $h(x)$ - фиксированный линейный непрерывный функционал, а $\{a_n\}$ - слабо сходящаяся к нулю, но не сходящаяся по норме последовательность векторов (например, последовательность ортов в гильбертовом пространстве). Не будет ли это контрпримером?

[nckg]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #278121 писал(а):

слабо сходится к тождественному оператору $A_n\mathop{\longrightarrow}\limits^w I$, т.е. для любого вектора $x\in E$ и любого непрерывного линейного функционала $f\in E^\ast$ выполнено $f(A_nx)\to f(x)$, $n\to\infty$

Не факт, что это называется слабой сходимостью, т.к. неочевидно, что любой линейный непрерывный функционал на пространстве линейных непрерывных операторов $\mathcal L(E,E)$ представим в виде $(f, Ax)$, где $f\in E^\ast$, $x\in E$.

[terminator-II]

Padawan в сообщении #278205 писал(а):

Насчет равномерной ограниченности полностью согласен.

Вот пример слабо сходящейся последовательности операторов $A_nx=x+a_n\cdot h(x)$, где $h(x)$ - фиксированный линейный непрерывный функционал, а $\{a_n\}$ - слабо сходящаяся к нулю, но не сходящаяся по норме последовательность векторов (например, последовательность ортов в гильбертовом пространстве). Не будет ли это контрпримером?

наверное это контр пример. даже конкретней в $L^2(S^1)$ рассмотрим $A_nx(t)=x(t)+e^{int}\int_{S^1}x(t)dt.$ $(S^1=\mathbb{R}/(2\pi \mathbb{Z})$ )
и $x_0=1$

[ewert]

(Оффтоп)

nckg в сообщении #278322 писал(а):

Не факт, что это называется слабой сходимостью, т.к. неочевидно, что любой линейный непрерывный функционал на пространстве линейных непрерывных операторов $\mathcal L(E,E)$ представим в виде ...

нет, факт, именно это стандартно и называется слабой сходимостью операторов (в отличие от "сильной" и "по норме"). Функционалы имеются в виду именно над исходным пр-вом, а не операторов.

Я, правда, не понял, какова цель этой задачки. Уж больно искусственным выглядит её условие.

[Padawan]

Чтобы утверждение было верно, нам достаточно проверить, что для любой $\varepsilon$-окрестности точки $x_0$ $U(x_0,\varepsilon)=\{x\in E: ||x-x_0||<\varepsilon\}$ найдётся хотя бы одна точка $x_1\in E$ и оператор $A_{n_1}$ такие, что $A_{n_1}x_1\in U$.

Контрпример это или нет пока не понятно...

Задачка возникла как попытка доказать средствами функционального анализа следующее утверждение:
Пусть на квадрате $[a,b]\times [a,b]$ задана последовательность непрерывных функций $\{K_n(s,t)\}$ такая, что при каждом фиксированном $t_0\in [a,b]$ последовательность $K_n(s,t_0)$ является дельта-образной и стремится к $\delta(t-t_0)$. А именно

1) $K_n(s,t)\geq 0$ для всех $s,t\in [a,b]$
2) $\int_a^b K_n(s,t_0)ds\leq 1$ для всех $n=1,2,\ldots$
3) $\lim\limits_{n\to\infty}\int_a^b K_n(s,t_0)ds=1$
4) $K_n(s,t_0)\mathop{\rightrightarrows}\limits^{|s-t_0|\geq\delta} 0$ , $n\to\infty$ (равномерная сходимость по $s$)

Надо доказать, что для любого $\varepsilon>0$ и любого номера $N$ найдутся точки $t_1,\ldots,t_p$, числа $c_1,\ldots,c_p\geq 0$ и номер $n>N$ такие, что $||1-\sum_{i=1}^p c_pK_n(s,t_p)||_{1}<\varepsilon$. Здесь $||\cdot||_1$ - норма в $L_1[a,b]$.

Короче, надо единицу приблизить линейной комбинацией "почти дельта-функций".

[terminator-II]

Контрпример.


Пространство $L^2(S^1),\quad S^1=\mathbb{R}/(2\pi \mathbb{Z})$.
Семейство операторов:

$$A_nx(t)=x(t)-e^{int}\frac{1}{2\pi}\int_{S^1}x(s)e^{-ins}ds+e^{int}\frac{1}{2\pi}\int_{S^1}x(s)ds\quad (*)$$

1) Два последних слагаемых в правой части этой формулы стремятся слабо к нулю при $n\to \infty$.
2) n-ый коэффициент Фурье правой части формулы (*) равен нулевому коэффициенту Фурье функции $x(t)$.

Ни при какой последовательности функций $x_n(t)$ последовательность $A_nx_n$ не может стремиться к $1$ сильно.
Действительно, предположим противное: $A_nx_n\to 1$ сильно.
Обозначим через $x_n^k$ k-ый коэффициент Фурье функции $x_n(t)$, тогда при $n\to\infty$ будет

$$(x^0_n-1)^2+(x_n^0)^2+\sum_{k\in\mathbb{Z},\, k\ne 0,n}(x^k_n)^2\to 0$$

Что, очевидно, невозможно.

[Padawan]

Спасибо. Буду искать другие пути.

[Padawan]

У меня $[a,b]=[-\pi,\pi]$, $K_n(s,t)=P_{r_n(t)}(s-t)$, где $P_r(t)=\frac {1}{2\pi}\frac{1-r^2}{1-2r\cos t +r^2}$ - ядро Пуассона, причем $r_n(t)\rightrightarrows 1-0$ на $[-\pi,\pi]$ при $n\to\infty$.