Чтобы утверждение было верно, нам достаточно проверить, что для любой

-окрестности точки

найдётся
хотя бы одна точка

и оператор

такие, что

.
Контрпример это или нет пока не понятно...
Задачка возникла как попытка доказать средствами функционального анализа следующее утверждение:
Пусть на квадрате
![$[a,b]\times [a,b]$ $[a,b]\times [a,b]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/d/e8dfab95de030202e8b0e0274fa8f2bd82.png)
задана последовательность непрерывных функций

такая, что при каждом фиксированном
![$t_0\in [a,b]$ $t_0\in [a,b]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/2/de286e3e31672aebf0f734b3247be9b982.png)
последовательность

является дельта-образной и стремится к

. А именно
1)

для всех
![$s,t\in [a,b]$ $s,t\in [a,b]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/d/92de2bf626be8b9f543f17f05911956c82.png)
2)

для всех

3)

4)

,

(равномерная сходимость по

)
Надо доказать, что для любого

и любого номера

найдутся точки

, числа

и номер

такие, что

. Здесь

- норма в
![$L_1[a,b]$ $L_1[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/4/f242fb2af28596f92d2f425b59203b4382.png)
.
Короче, надо единицу приблизить линейной комбинацией "почти дельта-функций".