Исследовать на сходимость ряд

[Padawan]

Исcледовать на сходимость ряды

$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1+\cos(n^n)}{n}$$

и

$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1+(\cos n)^n}{n}$$

[Padawan]

Второй зря написал: четная подпоследовательность $n=2k$ расходится, а все члены неотрицательные.

[ewert]

Напрасно Вы так уж сразу второй отбросили. Т.е. он-то, конечно, расходится, но остаётся вопрос: а сходится ли ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(\cos n)^n}{n}$?

Гипотеза: сходится, причём абсолютно. Основание: числа $n\;(\!\!\!\!\mod2\pi)$ вроде как асимптотически равномерно распределены на промежутке $[0;\,2\pi]$. Правда, как это доказать формально, я не знаю.

Тем более не знаю, как бороться с первым. Наверняка он расходится, но формально...

[RIP]

С $(\cos n)^n$ всё сравнительно "просто". Рассмотрим "плохие" слагаемые, где $|\cos n|^n>1/n$ (например); остальной кусок ряда сходится абсолютно. Докажем, что "плохие" слагаемые достаточно редки. Для "плохих" слагаемых справедливо неравенство $|n-\pi m|<\arccos n^{-1/n}<n^{-1/3}$, где $m=m(n)\in\mathbb Z$ (и $n\ge n_0$). Если $n<n+h$ --- номера "плохих" слагаемых, то с некоторым целым $k$ выполнено $|h-\pi k|<2n^{-1/3}$. Но известно, что $\pi$ имеет конечный показатель иррациональности, т.е. существует постоянная $C>0$ такая, что при любых натуральных $h,k$ выполнено неравенство $|h-\pi k|>\frac1{Ch^C}$, поэтому получаем, что $h>n^\delta$ с некоторой положительной постоянной $\delta$. Соответственно, сумма плохих слагаемых по отрезку $(2^N;2^{N+1}]$ оценивается сверху величиной порядка $2^{-\delta N}$.

А вот что делать с $\cos n^n$, вообще ума не приложу.