2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Исследовать на сходимость ряд
Сообщение07.01.2010, 12:50 
Исcледовать на сходимость ряды

$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1+\cos(n^n)}{n}$$

и

$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1+(\cos n)^n}{n}$$

 
 
 
 Re: Исследовать на сходимость ряд
Сообщение07.01.2010, 14:36 
Второй зря написал: четная подпоследовательность $n=2k$ расходится, а все члены неотрицательные.

 
 
 
 Re: Исследовать на сходимость ряд
Сообщение08.01.2010, 10:48 
Напрасно Вы так уж сразу второй отбросили. Т.е. он-то, конечно, расходится, но остаётся вопрос: а сходится ли ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(\cos n)^n}{n}$?

Гипотеза: сходится, причём абсолютно. Основание: числа $n\;(\!\!\!\!\mod2\pi)$ вроде как асимптотически равномерно распределены на промежутке $[0;\,2\pi]$. Правда, как это доказать формально, я не знаю.

Тем более не знаю, как бороться с первым. Наверняка он расходится, но формально...

 
 
 
 Re: Исследовать на сходимость ряд
Сообщение08.01.2010, 11:52 
Аватара пользователя
С $(\cos n)^n$ всё сравнительно "просто". Рассмотрим "плохие" слагаемые, где $|\cos n|^n>1/n$ (например); остальной кусок ряда сходится абсолютно. Докажем, что "плохие" слагаемые достаточно редки. Для "плохих" слагаемых справедливо неравенство $|n-\pi m|<\arccos n^{-1/n}<n^{-1/3}$, где $m=m(n)\in\mathbb Z$$n\ge n_0$). Если $n<n+h$ --- номера "плохих" слагаемых, то с некоторым целым $k$ выполнено $|h-\pi k|<2n^{-1/3}$. Но известно, что $\pi$ имеет конечный показатель иррациональности, т.е. существует постоянная $C>0$ такая, что при любых натуральных $h,k$ выполнено неравенство $|h-\pi k|>\frac1{Ch^C}$, поэтому получаем, что $h>n^\delta$ с некоторой положительной постоянной $\delta$. Соответственно, сумма плохих слагаемых по отрезку $(2^N;2^{N+1}]$ оценивается сверху величиной порядка $2^{-\delta N}$.

А вот что делать с $\cos n^n$, вообще ума не приложу.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group