2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Исследовать на сходимость ряд
Сообщение07.01.2010, 12:50 
Заслуженный участник


13/12/05
4525
Исcледовать на сходимость ряды

$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1+\cos(n^n)}{n}$$

и

$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1+(\cos n)^n}{n}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать на сходимость ряд
Сообщение07.01.2010, 14:36 
Заслуженный участник


13/12/05
4525
Второй зря написал: четная подпоследовательность $n=2k$ расходится, а все члены неотрицательные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать на сходимость ряд
Сообщение08.01.2010, 10:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Напрасно Вы так уж сразу второй отбросили. Т.е. он-то, конечно, расходится, но остаётся вопрос: а сходится ли ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(\cos n)^n}{n}$?

Гипотеза: сходится, причём абсолютно. Основание: числа $n\;(\!\!\!\!\mod2\pi)$ вроде как асимптотически равномерно распределены на промежутке $[0;\,2\pi]$. Правда, как это доказать формально, я не знаю.

Тем более не знаю, как бороться с первым. Наверняка он расходится, но формально...

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать на сходимость ряд
Сообщение08.01.2010, 11:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
С $(\cos n)^n$ всё сравнительно "просто". Рассмотрим "плохие" слагаемые, где $|\cos n|^n>1/n$ (например); остальной кусок ряда сходится абсолютно. Докажем, что "плохие" слагаемые достаточно редки. Для "плохих" слагаемых справедливо неравенство $|n-\pi m|<\arccos n^{-1/n}<n^{-1/3}$, где $m=m(n)\in\mathbb Z$$n\ge n_0$). Если $n<n+h$ --- номера "плохих" слагаемых, то с некоторым целым $k$ выполнено $|h-\pi k|<2n^{-1/3}$. Но известно, что $\pi$ имеет конечный показатель иррациональности, т.е. существует постоянная $C>0$ такая, что при любых натуральных $h,k$ выполнено неравенство $|h-\pi k|>\frac1{Ch^C}$, поэтому получаем, что $h>n^\delta$ с некоторой положительной постоянной $\delta$. Соответственно, сумма плохих слагаемых по отрезку $(2^N;2^{N+1}]$ оценивается сверху величиной порядка $2^{-\delta N}$.

А вот что делать с $\cos n^n$, вообще ума не приложу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group