линейный непрерывный незамкнутый оператор

[nckg]

Существует ли линейный непрерывный оператор $A\colon \mathcal D'(\mathbb R) \to \mathcal D'(\mathbb R)$, который не является замкнутым?
(замкнутым в том смысле, что переводит замкнутое множество в замкнутое)

[terminator-II]

nckg в сообщении #277405 писал(а):

Существует ли линейный непрерывный оператор $A\colon \mathcal D'(\mathbb R) \to \mathcal D'(\mathbb R)$, который не является замкнутым?
(замкнутым в том смысле, что переводит замкнутое множество в замкнутое)

думаю, что существует, возьмем сглаживающий оператор $ \mathcal D'(\mathbb R)\ni u\mapsto \psi*u\in C^\infty(\mathbb R) $ где $\psi\in \mathcal D(\mathbb R)$

[nckg]

я тоже думал насчёт сглаживающего оператора, но придумать замкнутое множество, образ которого не будет замкнутым, мне пока не удалось. Если Вы его знаете - скажите просто что он есть, а я ещё немного подумаю

[PAV]

В учебный раздел

[terminator-II]

nckg в сообщении #277541 писал(а):

я тоже думал насчёт сглаживающего оператора, но придумать замкнутое множество, образ которого не будет замкнутым, мне пока не удалось. Если Вы его знаете - скажите просто что он есть, а я ещё немного подумаю

замкнутым множеством будет $\mathcal{D'}(\mathbb{R})$

[nckg]

ага, т.е. Вы хотите сказать что образ оператора сглаживания будет незамкнут?
Я согласен, что образ лежит в $C^\infty(\mathbb R)$, но неочевидно, что он совпадает с $C^\infty(\mathbb R)$.
Или Вы как-то по-другому рассуждали?

[terminator-II]

nckg в сообщении #277795 писал(а):

Я согласен, что образ лежит в $C^\infty(\mathbb R)$, но неочевидно, что он совпадает с $C^\infty(\mathbb R)$

Наверное не совпадает. Но мы можем его описать. А именно образ этого оператора включает в себя все функции $f\in C^\infty(\mathbb{R})$ для которых $\mathrm{supp}\,\hat f+\varepsilon\subseteq \mathrm{supp}\,\hat \psi$. Если теперь $\mathrm{supp}\,\hat \psi$ некомпактен.... Дальше вроде понятно.

[nckg]

а $\hat\cdot$ - это у Вас что? Преобразование Фурье?

[terminator-II]

да

[nckg]

Пусть $\psi$ --- шапочка. Тогда $\mathrm{supp}\, \hat\psi = \mathbb R$. Тогда условие $\mathrm{supp}\,\hat f+\varepsilon\subseteq \mathrm{supp}\,\hat \psi$ будет равносильно условию $\mathrm{supp}\,\hat f \subseteq \mathbb R$ и будет выполняться, в частности, для всех функций $f\in \mathcal S(\mathbb R)$. Согласны?

[terminator-II]

nckg в сообщении #278311 писал(а):

Пусть $\psi$ --- шапочка. Тогда $\mathrm{supp}\, \hat\psi = \mathbb R$

Это я не проверял. Но если так, то задача решается разу. Возьмем функцию $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ такую, что $\mathrm{supp}\,\hat f$ -- компактен и не пуст.
Тогда уравнение $\psi*u=f$ разрешимо: $\hat u=\hat f/\hat \psi\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ откуда находим $u$.
Можно считать, что $f(0)\ne 0$ Рассмотрим последовательность $f_n(x)=nf(nx)$ она стемится в $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ к функции типа дельта-функции. Также как и выше, уравнение $\psi*u=f_n$ разрешимо относительно $u$ при каждом $n$.

[nckg]

Утв. Пусть $\psi$ --- шапочка. Тогда $\mathrm{supp}\, \hat\psi = \mathbb R$
Док-во: Рассмотрим $F(z)=\int e^{i \xi z}\psi(\xi) \, d\xi$. Эта функция будет аналитической, и поэтому может иметь лишь изолированные нули. Стало быть, $\mathrm{supp}\, \hat\psi$, т.е. замыканием множества точек, где $F(x)\neq 0$, будет вся прямая, т.е. $\mathbb R$.

Тем не менее, $\hat\psi$ может обращаться в нуль в каких-то изолированных точках, и поэтому не факт что $\hat f / \hat \psi \in \mathcal S (\mathbb R)$...
Но, в силу определения шапочки $F(0)=\int\psi(\xi)\,d\xi > 0$, так что в какой-то окрестности нуля $\hat \psi \neq 0$.
Возьмём $\hat f$ с носителем строго внутри этой окрестности, причём так, что $\hat f (0) > 0$.
$f=F^{-1}[\hat f]$ (обр. преобр. Фурье). Тогда $\int f(\xi) d\xi > 0$.
Отсюда следует, что $n f(nx)\to \int f(\xi) d\xi \, \delta(x)$ в $\mathcal D'(\mathbb R)$. Теперь вроде всё ясно. Спасибо за идею, terminator-II!

[nckg]

Мне начало казаться, что есть более простой пример.
Пусть $\omega(x)$ -- шапочка, $\mathrm{supp}\,\omega=[0,1]$.
Рассмотрим оператор $A\colon \mathcal D'(\mathbb R) \to \mathcal D'(\mathbb R)$ умножения на $\omega(x)$.
Ясно, что $\delta(x-1/n)\in \mathrm{Im}\,A$ при любом $n\in \mathbb N$, но при $n\to \infty$
$\delta(x-1/n)\to \delta(x)\notin \mathrm{Im}\,A$.