Утв. Пусть

--- шапочка. Тогда

Док-во: Рассмотрим

. Эта функция будет аналитической, и поэтому может иметь лишь изолированные нули. Стало быть,

, т.е. замыканием множества точек, где

, будет вся прямая, т.е.

.
Тем не менее,

может обращаться в нуль в каких-то изолированных точках, и поэтому не факт что

...
Но, в силу определения шапочки

, так что в какой-то окрестности нуля

.
Возьмём

с носителем строго внутри этой окрестности, причём так, что

.
(обр. преобр. Фурье). Тогда

.
Отсюда следует, что

в

. Теперь вроде всё ясно. Спасибо за идею,
terminator-II!