Мера множества

[Руст]

Дана окружность меры 1 и некоторое число 0<х<1. Рассмотрим такие подмножества окружности, мера пересечения которых с любым своим поворотом не меньше х. Чему равен нижний предел меры таких множеств?

[незваный гость]

$\frac{1+x}{2}$

Есть интересный подводный камень. А именно: существуют ли неизмеримое подмножество окружности, пересечение которого с любым нетождественным поворотом его измеримо?

[Руст]

Ответ неверен.

[Руст]

незваный гость писал(а):

:evil:
$\frac{1+x}{2}$

Есть интересный подводный камень. А именно: существуют ли неизмеримое подмножество окружности, пересечение которого с любым нетождественным поворотом его измеримо?

Хотя это не относится к теме на этот вопрос можно ответит если подмножество окружности дает измеримое множество в пересечении с любым своим нетождественным поворотом, то оно само измеримо.
По поводу ответа скажу, что искомый нижний предел всегда меньше вашего, к тому же он стремится к нулю, когда х стремится к нулю (у вас к 1/2).

[Brukvalub]

Нижний предел меры таких множеств как раз и равен х.

[Руст]

Пусть g(t) - характеристическая функция такого множества и T=R/Z единичная окружность. Тогда характеристическая функция пересечения этого множества с повёрнутым на а есть g(t)g(t-a) (операции выполняются по модулю 1). Интегрируя по t получаем, что $\int g(t)g(t-a)dt \ge x$ интегрируя это неравенство по параметру а от 0 до 1 получим
$y=\int g(t)dt , \ y^2\ge x $, т.е. мера этого множества не меньше, чем $y\ge \sqrt x >x $.

[незваный гость]

Простите, но Вы доказали, что мера такого множества не меньше $\sqrt x$. Нужно большее, а именно, что она равна. Для этого нужно, например, предъявить множество, реализующее данную оценку.

[Руст]

Я пока оставил решение для форумчан. Указал только на ошибочность ответа y=x, указав, что y>x.

[Руст]

Приведу окончательное решение.
Рассмотрим множество чисел $S_{pk}=\{x=0,a_1a_2...,a_k...\}$, которые в р- ичной записи не имеет одной цифры (например 0) в первых k цифрах. Легко проверять, что мера этого множества $|S_{pk}|=(1-\frac 1p )^k$, в то время как минимум меры пересечений со своими поворотами равна $x(S_{pk})=(1-\frac 2p )^k.$
Выбрав $k=[\frac{\ln x }{\ln(1-\frac 2p )}]$ добиваемся того, что $x(S_{pk})\ge x $.
Устремляя при этом р к бесконечности получаем, что $\forall \epsilon >0 \ \sqrt x<|S_{pk}|<\sqrt x +\epsilon .$ Т.е. искомый нижний предел равен $\sqrt x .$
В то же время, можно показать, что не существует множества меры $\sqrt x $, которое с любым своим пересечением имеет меру не меньше х.