Приведу окончательное решение.
Рассмотрим множество чисел

, которые в р- ичной записи не имеет одной цифры (например 0) в первых k цифрах. Легко проверять, что мера этого множества

, в то время как минимум меры пересечений со своими поворотами равна
Выбрав
![$k=[\frac{\ln x }{\ln(1-\frac 2p )}]$ $k=[\frac{\ln x }{\ln(1-\frac 2p )}]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/b/9fb8899daef21e2a2ba7a1691ded310882.png)
добиваемся того, что

.
Устремляя при этом р к бесконечности получаем, что

Т.е. искомый нижний предел равен
В то же время, можно показать, что не существует множества меры

, которое с любым своим пересечением имеет меру не меньше х.