Найти уравнение круглого конуса

[MOEVM]

с вершиной $(1,1,1)$ , направляющим вектором оси $(1,-1,1)$ и проходящего через точку $(2,3,1)$

уравение конуса $x^2+y^2-z^2=0$

записываю $\alpha*x^2+\beta*y^2-\gamma*z^2=0$

пишем систему уравнений
$\alpha+\beta-\gamma=0$ и $ 4\alpha+9\beta-\gamma=0$

как использовать направляющий вектор оси?

[nckg]

А откуда следует что исходная система координат будет канонической для конуса?

Попробуйте геометрически решить такую задачу: составить ур-ние кругового конуса с вершиной $M_0(\mathbf r_0)$ осью $\mathbf r = \mathbf r_0 + \mathbf a t$, проходящего через точку $M_1(\mathbf r_1)$.

[ewert]

Потребуйте, чтобы косинус угла между векторами $(x-1,\,y-1,\,z-1)$ и $(1,-1,1)$ был равен некоторой константе. Для определения константы подставьте в это уравнение точку $2,3,1)$.

[MOEVM]

честно говоря, ничего не понял

[MOEVM]

может лучше найти 3 точку как симметричную к (2,3,1) относительно прямой совпадающей с осью

[ewert]

MOEVM в сообщении #277914 писал(а):

честно говоря, ничего не понял

Очень плохо.

У Вас есть "центр" конуса -- точка $A(1,1,1)$. И произвольная точка на конусе $M(x,y,z)$. И вектор, параллельный оси конуса $\vec v=(1,-1,1)$.

Точка $M$ лежит на конусе тогда и только тогда, когда угол между векторами $\overrightarrow{AM}$ и $\vec v$ фиксирован. Т.е. когда фиксирован косинус этого угла. Ну а уж косинус угла между явно выписанными векторами -- Вы обязаны уметь записывать.

(правда, это даст лишь одну полость конуса, к тому же без вершины, но это уже дальнейшие нюансы)

[AKM]

MOEVM в сообщении #277901 писал(а):

с вершиной $(1,1,1)$ , направляющим вектором оси $(1,-1,1)$ и проходящего через точку $(2,3,1)$

уравение конуса $x^2+y^2-z^2=0$

записываю $\alpha*x^2+\beta*y^2-\gamma*z^2=0$

MOEVM,
Вы сразу исходите из уравнения конуса, ось которого сопвадает с осью $OZ$. И никакими фокусами с коэффициентами Вы не заставите эту ось наклониться (посмотрите на уравнения, прикиньте, что меняется, когда меняется один из Ваших коэффициентов. Да ещё Вы некруговой конус взяли, а что-то эллиптическое в сечении, или того хуже).

У Вас сразу требуют конкретную наклонённую ось. И основываясь на этих уравнениях ненаклонного конуса, Вы ничего не решите).
(nckg, говоря о каноничности, похоже, имел в виду эту же мысль).

Вникайте в подсказки ewerta.

[nckg]

MOEVM в сообщении #277935 писал(а):

может лучше найти 3 точку как симметричную к (2,3,1) относительно прямой совпадающей с осью

и что это даст?

[MOEVM]

nckg в сообщении #277939 писал(а):

и что это даст?

третье уравнение и альфа, бета ,гамма, мне кажется если найти сказано, значит не каноническое, а уравнение ,где задано!

[ewert]

Так, ещё раз. Я настаиваю на своём варианте решения -- не потому, что оно моё, а потому, что идейно. Вы же зачем-то пытаетесь бессознательно ловить тёмных мышей в чёрной комнате, хотя их там и нет.

Конус определяется фиксацией упомянутого угла. Каждому углу (собственно, раствора конуса) отвечает вполне определённый конус, и наоборот.

Так вот и введите этот угол (или его косинус, что эквивалентно) как пока неизвестную, но постоянную. Получите уравнение конуса -- с точностью до этой самой постоянной. А для определения значения этой постоянной -- воспользуйтесь дополнительным условием: что, дескать, ещё и некая точка $B(2,3,1)$ на этом конусе лежит.

[MOEVM]

хорошо,
$cos(a$^$b)=\frac{-1}{\sqrt{15}}$
что делать дальше? я не пойму кк это прикрутить7

[Voodoo Man]

Ну а дальше, к примеру, обозначая за $ M_0 (x_0, y_0, z_0) $ координаты точки, принадлежащей этому конусу, можно записать, что искомый конус есть геометрическое место векторов (откладываемых между прочим от вершины конуса), которые образуют с данным направлением постоянный, константный угол,косинус которого вверху уже найден. А так как это теоретически всё можно записать через скалярное произведение (которое будет связывать между собой определённым образом координаты $x_0$, $y_0$, $z_0$ ), то и флаг вам в руки

[arseniiv]

MOEVM в сообщении #277961 писал(а):

$cos(a$^$b)=\frac{-1}{\sqrt{15}}$

Формула-то кривая получилась!

[MOEVM]

arseniiv
неправильно cos'инус нашел?

[arseniiv]

Нет, тут я ничего сказать не могу, плохо разбираюсь пока что. Но формула набрана кривовато.

MOEVM в сообщении #277993 писал(а):

cos'инус

Ну и написали бы: косинус. Не зазорно.