2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Найти уравнение круглого конуса
Сообщение06.01.2010, 11:57 
с вершиной $(1,1,1)$ , направляющим вектором оси $(1,-1,1)$ и проходящего через точку $(2,3,1)$

уравение конуса $x^2+y^2-z^2=0$

записываю $\alpha*x^2+\beta*y^2-\gamma*z^2=0$

пишем систему уравнений
$\alpha+\beta-\gamma=0$ и $
4\alpha+9\beta-\gamma=0$

как использовать направляющий вектор оси?

 
 
 
 Re: Найти уравнение круглого конуса
Сообщение06.01.2010, 12:10 
А откуда следует что исходная система координат будет канонической для конуса?

Попробуйте геометрически решить такую задачу: составить ур-ние кругового конуса с вершиной $M_0(\mathbf r_0)$ осью $\mathbf r = \mathbf r_0 + \mathbf a t$, проходящего через точку $M_1(\mathbf r_1)$.

 
 
 
 Re: Найти уравнение круглого конуса
Сообщение06.01.2010, 12:14 
Потребуйте, чтобы косинус угла между векторами $(x-1,\,y-1,\,z-1)$ и $(1,-1,1)$ был равен некоторой константе. Для определения константы подставьте в это уравнение точку $2,3,1)$.

 
 
 
 Re: Найти уравнение круглого конуса
Сообщение06.01.2010, 12:46 
честно говоря, ничего не понял

 
 
 
 Re: Найти уравнение круглого конуса
Сообщение06.01.2010, 14:18 
может лучше найти 3 точку как симметричную к (2,3,1) относительно прямой совпадающей с осью

 
 
 
 Re: Найти уравнение круглого конуса
Сообщение06.01.2010, 14:24 
MOEVM в сообщении #277914 писал(а):
честно говоря, ничего не понял

Очень плохо.

У Вас есть "центр" конуса -- точка $A(1,1,1)$. И произвольная точка на конусе $M(x,y,z)$. И вектор, параллельный оси конуса $\vec v=(1,-1,1)$.

Точка $M$ лежит на конусе тогда и только тогда, когда угол между векторами $\overrightarrow{AM}$ и $\vec v$ фиксирован. Т.е. когда фиксирован косинус этого угла. Ну а уж косинус угла между явно выписанными векторами -- Вы обязаны уметь записывать.

(правда, это даст лишь одну полость конуса, к тому же без вершины, но это уже дальнейшие нюансы)

 
 
 
 Re: Найти уравнение круглого конуса
Сообщение06.01.2010, 14:29 
Аватара пользователя
MOEVM в сообщении #277901 писал(а):
с вершиной $(1,1,1)$ , направляющим вектором оси $(1,-1,1)$ и проходящего через точку $(2,3,1)$

уравение конуса $x^2+y^2-z^2=0$

записываю $\alpha*x^2+\beta*y^2-\gamma*z^2=0$
MOEVM,
Вы сразу исходите из уравнения конуса, ось которого сопвадает с осью $OZ$. И никакими фокусами с коэффициентами Вы не заставите эту ось наклониться (посмотрите на уравнения, прикиньте, что меняется, когда меняется один из Ваших коэффициентов. Да ещё Вы некруговой конус взяли, а что-то эллиптическое в сечении, или того хуже).

У Вас сразу требуют конкретную наклонённую ось. И основываясь на этих уравнениях ненаклонного конуса, Вы ничего не решите).
(nckg, говоря о каноничности, похоже, имел в виду эту же мысль).

Вникайте в подсказки ewerta.

 
 
 
 Re: Найти уравнение круглого конуса
Сообщение06.01.2010, 14:29 
MOEVM в сообщении #277935 писал(а):
может лучше найти 3 точку как симметричную к (2,3,1) относительно прямой совпадающей с осью

и что это даст?

 
 
 
 Re: Найти уравнение круглого конуса
Сообщение06.01.2010, 14:36 
nckg в сообщении #277939 писал(а):
и что это даст?

третье уравнение и альфа, бета ,гамма, мне кажется если найти сказано, значит не каноническое, а уравнение ,где задано!

 
 
 
 Re: Найти уравнение круглого конуса
Сообщение06.01.2010, 15:09 
Так, ещё раз. Я настаиваю на своём варианте решения -- не потому, что оно моё, а потому, что идейно. Вы же зачем-то пытаетесь бессознательно ловить тёмных мышей в чёрной комнате, хотя их там и нет.

Конус определяется фиксацией упомянутого угла. Каждому углу (собственно, раствора конуса) отвечает вполне определённый конус, и наоборот.

Так вот и введите этот угол (или его косинус, что эквивалентно) как пока неизвестную, но постоянную. Получите уравнение конуса -- с точностью до этой самой постоянной. А для определения значения этой постоянной -- воспользуйтесь дополнительным условием: что, дескать, ещё и некая точка $B(2,3,1)$ на этом конусе лежит.

 
 
 
 Re: Найти уравнение круглого конуса
Сообщение06.01.2010, 15:33 
хорошо,
$cos(a$^$b)=\frac{-1}{\sqrt{15}}$
что делать дальше? я не пойму кк это прикрутить7

 
 
 
 Re: Найти уравнение круглого конуса
Сообщение06.01.2010, 15:44 
Ну а дальше, к примеру, обозначая за $ M_0 (x_0, y_0, z_0) $ координаты точки, принадлежащей этому конусу, можно записать, что искомый конус есть геометрическое место векторов (откладываемых между прочим от вершины конуса), которые образуют с данным направлением постоянный, константный угол,косинус которого вверху уже найден. А так как это теоретически всё можно записать через скалярное произведение (которое будет связывать между собой определённым образом координаты $x_0$, $y_0$, $z_0$ ), то и флаг вам в руки :)

 
 
 
 Re: Найти уравнение круглого конуса
Сообщение06.01.2010, 16:00 
MOEVM в сообщении #277961 писал(а):
$cos(a$^$b)=\frac{-1}{\sqrt{15}}$
Формула-то кривая получилась! :wink:

 
 
 
 Re: Найти уравнение круглого конуса
Сообщение06.01.2010, 16:45 
arseniiv
неправильно cos'инус нашел?

 
 
 
 Re: Найти уравнение круглого конуса
Сообщение06.01.2010, 16:48 
Нет, тут я ничего сказать не могу, плохо разбираюсь пока что. Но формула набрана кривовато. :)

MOEVM в сообщении #277993 писал(а):
cos'инус
Ну и написали бы: косинус. Не зазорно.

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group