Теперь надо показать, что существует точка

такая что
=
для всех i.
Так ли это? Окрестность

в

ведь задаётся неравенствами

,

...
---
В случае банахова пространства можно рассуждать так:
1) Рассмотрим окрестность (в слабой топологии)

внутренней точки

шара

.
Нужно показать, что найдётся точка сферы

, такая что

.
2) Лемма:

целиком содержит некоторую прямую

в пространстве

, проходящую через

.
(Оффтоп)
Доказательство. Подпространство

имеет конечную коразмерность (см. книгу Хелемского, стр. 315), а т.к.

бесконечномерно, то и

бесконечномерно и поэтому непусто, т.е.

,

. Прямую

можно задать как

.
3) Поскольку

, прямая

пересекает сферу

в некоторой точке. Это и будет искомая точка

.