Замыкание сферы в слабой топологии

[fish-ka]

Помогите показать, что в бесконечномерном банаховом пространстве Х замыкание единичной сферы S(X)={x: ||x||=1} в слабой топологии τ(Х,Хʹ) есть единичный шар U(X)={x: ||x||<=1}.


Рассматриваю точку ||$x_0$||<1. Пусть $f_1, f_2,.....,f_n% - линейные функционалы, задающие \sigma(X,X') - окрестность точки $x_0\in U(X)$. Теперь надо показать, что существует точка $x\neq x_0$ такая что $f_i(x)=f_i(x_0)$ для всех i.

Вот существование этой точки прошу помочь доказать. И что делать дальше, тоже не ясно.

[Полосин]

Для наглядности рассмотрим вещественное гильбертово пространство $H$ с ортонормированным базисом $e_k$. Пусть дан $f\in H$, $f=\sum f_ke_k$, $||f||\le1$. Построим требуемую последовательность элементов $g_n=f+c_n e_n$, $||g_n||^2=1$: $c_n=-f_n+\sqrt{1-||f||^2+f_n^2}$.

[nckg]

fish-ka в сообщении #277687 писал(а):

Теперь надо показать, что существует точка $x\neq x_0$ такая что $f_i(x)$=$f_i(x_0)$ для всех i.

Так ли это? Окрестность $U_{x_0}$ в $\sigma(X,X')$ ведь задаётся неравенствами $|f_i(x)| < \varepsilon$, $i=\overline{1,n}$...

---

В случае банахова пространства можно рассуждать так:
1) Рассмотрим окрестность (в слабой топологии) $U_{x_0}$ внутренней точки $x_0$ шара $U=\{x\in X\colon \|x\|\leqslant 1\}$.
Нужно показать, что найдётся точка сферы $\xi \in S=\{x\in X\colon \|x\| = 1\}$, такая что $\xi \in U_{x_0}$.
2) Лемма: $U_{x_0}$ целиком содержит некоторую прямую $\ell$ в пространстве $X$, проходящую через $x_0$.

(Оффтоп)

Доказательство. Подпространство $V=\cap_i \ker f_i$ имеет конечную коразмерность (см. книгу Хелемского, стр. 315), а т.к. $X$ бесконечномерно, то и $V$ бесконечномерно и поэтому непусто, т.е. $\exists y\in V$, $y\neq 0$. Прямую $\ell$ можно задать как $\ell = \{x_0 + ty, \; t\in \mathbb R\}$.

3) Поскольку $\|x_0\|<1$, прямая $\ell$ пересекает сферу $S$ в некоторой точке. Это и будет искомая точка $\xi$.