Выражение симм-го многочлена через основные симм-ие

[Sonic86]

Пусть $F(x_1,...,x_n)$ - многочлен, группа преобразований которого равна $G \subseteq S_n$ и $s_j(x_1,...,x_n)$ - некоторые основные многочлены, группа преобразований которых тоже равна $G$, через которые мне надо выразить $F$.
1. Для $G = S_n$ вопрос в том, как побыстрее это сделать? Сначала я делал так, как делается в основной теореме о симметрических многочленах: в $F$ находил старший моном, потом подбирал для него такую функцию от элементарных симметрических многочленов, которая содержит этот моном, вычитал ее из $F$, получался новый многочлен и я с ним делал то же самое. И так до конца. Но это долго. Второй вариант - выписать для $F$ искомую функцию $H(s_1,...,s_m)$ с неопределенными коэффициентами и найти коэффициенты, подставляя разные $x_j$. Как быстрее будет? М.б. есть еще какие-то способы?
2. Для $G \subset S_n$ вопрос такой же + вопрос о том, как выглядят многочлены $s_j$ для группы $G$. Их тоже конечное число? Сколько? Через них тоже выражается любой многочлен $F$ с группой $G$?

[Leox]

1. не понятно что значит - побьістрее? Вьі вручную єто делаете?
Оба способа хороши. Membership problem ето непростая задача.
2. Єто стандартная задача теории инвариантов, которая теоретически просто решается при помощи так назьіваемого оператора Рейнольдса. В двух словах $-$ если $G$ конечная группа и пусть $kG$ ее групповое кольцо,$ k -$ поле. Елемент группового кольца $R:=\dfrac{1}{|G|}(g_1+g_2+\cdots+ g_{|G|})$ определяет проектор из алгебрьі многочленов $k[x_1, \ldots, x_n]$ в алгебру инвариантов $k[x_1, \ldots, x_n]^G$ (именно ее вьі ищете). Действуя єтим оператором на мономьі $x_1^{k_1} x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n},$ такие что $k_1+k_2+\cdots+k_n \leqslant |G|$, вьі получите порождающую систему $k[x_1, \ldots, x_n]^G$, но не минимальную. Если удастся, разньіми методами можно вьіделить минимальную систему. Она существует и конечна, по теореме Нетер. Насколько я знаю, точного вьіражения для количества порождающих в общем случае нет, но для разньіх классов групп можно сказать больше, например для групп порожденньіх отражениями.
Есть много бесплатньіх компютерньіх программ которьіе решают такого рода задачи, например CoCoA.

Предупреждение за систематическое коверкание русского языка.

[Sonic86]

Leox писал(а):

1. не понятно что значит - побьістрее? Вьі вручную єто делаете?
Оба способа хороши. Membership problem ето непростая задача.

Угу, вручную. Метод неопределенных коэффициентов с параметром все-таки хорошо работает, только переменных очень много. Что такое Membership problem?
Насчет 2 - спасибо, пойду думать...

[Leox]

Цитата:

Угу, вручную. Метод неопределенных коэффициентов с параметром все-таки хорошо работает, только переменных очень много.

Что за задача, сформулируйте если можно.

Цитата:

Что такое Membership problem?

В вашем случае: дано подалгебру в алгебре многочленов и дано многочлен. Вопрос - принадлежит ли он етой подалгебре?

-- Вт янв 05, 2010 18:06:41 --

Цитата:

Предупреждение за систематическое коверкание русского языка.

Я без умысла - просто у меня нет русской раскладки.

[Sonic86]

Leox писал(а):

Что за задача, сформулируйте если можно.

(а я же писал) Выразить многочлен с группой $G$ через основные симметрические. Не знаю, известная она или нет. Если $G(f)=S_n$ - , то мы должны выразить $f$ через $\sigma _j, j=1,...,n$ - элементарные симметрические многочлены. Если $G(f)=A_n$, то $f=g+ \Delta h$, где $G(g)=G(h)=S_n$, а $\Delta$ - дискриминант (у него группа $A_n$) (это из Прасолова Многочлены). С другими группами должно быть аналогично, но я просто не знаю, какие там еще многочлены с группой $G$ используются.

Leox писал(а):

В вашем случае: дано подалгебру в алгебре многочленов и дано многочлен. Вопрос - принадлежит ли он етой подалгебре?

Понятно. Удивило то, что она в такой общей форме сформулирована.

[Leox]

Цитата:

Если $G(f)=A_n$, то $f=g+ \Delta h$, где $G(g)=G(h)=S_n$, а $\Delta$ - дискриминант (у него группа $A_n$) (это из Прасолова Многочлены). С другими группами должно быть аналогично, но я просто не знаю, какие там еще многочлены с группой $G$ используются.

Попробуйте тот метод что я вам описал.