2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Выражение симм-го многочлена через основные симм-ие
Сообщение30.12.2009, 07:35 
Пусть $F(x_1,...,x_n)$ - многочлен, группа преобразований которого равна $G \subseteq S_n$ и $s_j(x_1,...,x_n)$ - некоторые основные многочлены, группа преобразований которых тоже равна $G$, через которые мне надо выразить $F$.
1. Для $G = S_n$ вопрос в том, как побыстрее это сделать? Сначала я делал так, как делается в основной теореме о симметрических многочленах: в $F$ находил старший моном, потом подбирал для него такую функцию от элементарных симметрических многочленов, которая содержит этот моном, вычитал ее из $F$, получался новый многочлен и я с ним делал то же самое. И так до конца. Но это долго. Второй вариант - выписать для $F$ искомую функцию $H(s_1,...,s_m)$ с неопределенными коэффициентами и найти коэффициенты, подставляя разные $x_j$. Как быстрее будет? М.б. есть еще какие-то способы?
2. Для $G \subset S_n$ вопрос такой же + вопрос о том, как выглядят многочлены $s_j$ для группы $G$. Их тоже конечное число? Сколько? Через них тоже выражается любой многочлен $F$ с группой $G$?

 
 
 
 Re: Выражение симм-го многочлена через основные симм-ие
Сообщение01.01.2010, 16:57 
1. не понятно что значит - побьістрее? Вьі вручную єто делаете?
Оба способа хороши. Membership problem ето непростая задача.
2. Єто стандартная задача теории инвариантов, которая теоретически просто решается при помощи так назьіваемого оператора Рейнольдса. В двух словах $-$ если $G$ конечная группа и пусть $kG$ ее групповое кольцо,$ k -$ поле. Елемент группового кольца $R:=\dfrac{1}{|G|}(g_1+g_2+\cdots+ g_{|G|})$ определяет проектор из алгебрьі многочленов $k[x_1, \ldots, x_n]$ в алгебру инвариантов $k[x_1, \ldots, x_n]^G$ (именно ее вьі ищете). Действуя єтим оператором на мономьі $x_1^{k_1} x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n},$ такие что $k_1+k_2+\cdots+k_n \leqslant |G|$, вьі получите порождающую систему $k[x_1, \ldots, x_n]^G$, но не минимальную. Если удастся, разньіми методами можно вьіделить минимальную систему. Она существует и конечна, по теореме Нетер. Насколько я знаю, точного вьіражения для количества порождающих в общем случае нет, но для разньіх классов групп можно сказать больше, например для групп порожденньіх отражениями.
Есть много бесплатньіх компютерньіх программ которьіе решают такого рода задачи, например CoCoA.

 !  Предупреждение за систематическое коверкание русского языка.

 
 
 
 Re: Выражение симм-го многочлена через основные симм-ие
Сообщение05.01.2010, 08:11 
Leox писал(а):
1. не понятно что значит - побьістрее? Вьі вручную єто делаете?
Оба способа хороши. Membership problem ето непростая задача.

Угу, вручную. Метод неопределенных коэффициентов с параметром все-таки хорошо работает, только переменных очень много. Что такое Membership problem?
Насчет 2 - спасибо, пойду думать...

 
 
 
 Re: Выражение симм-го многочлена через основные симм-ие
Сообщение05.01.2010, 18:46 
Цитата:
Угу, вручную. Метод неопределенных коэффициентов с параметром все-таки хорошо работает, только переменных очень много.


Что за задача, сформулируйте если можно.

Цитата:
Что такое Membership problem?


В вашем случае: дано подалгебру в алгебре многочленов и дано многочлен. Вопрос - принадлежит ли он етой подалгебре?

-- Вт янв 05, 2010 18:06:41 --

Цитата:
 !  Предупреждение за систематическое коверкание русского языка.


Я без умысла - просто у меня нет русской раскладки.

 
 
 
 Re: Выражение симм-го многочлена через основные симм-ие
Сообщение06.01.2010, 06:58 
Leox писал(а):
Что за задача, сформулируйте если можно.

(а я же писал) Выразить многочлен с группой $G$ через основные симметрические. Не знаю, известная она или нет. Если $G(f)=S_n$ - , то мы должны выразить $f$ через $\sigma _j, j=1,...,n$ - элементарные симметрические многочлены. Если $G(f)=A_n$, то $f=g+ \Delta h$, где $G(g)=G(h)=S_n$, а $\Delta$ - дискриминант (у него группа $A_n$) (это из Прасолова Многочлены). С другими группами должно быть аналогично, но я просто не знаю, какие там еще многочлены с группой $G$ используются.
Leox писал(а):
В вашем случае: дано подалгебру в алгебре многочленов и дано многочлен. Вопрос - принадлежит ли он етой подалгебре?

Понятно. Удивило то, что она в такой общей форме сформулирована.

 
 
 
 Re: Выражение симм-го многочлена через основные симм-ие
Сообщение07.01.2010, 03:01 
Цитата:
Если $G(f)=A_n$, то $f=g+ \Delta h$, где $G(g)=G(h)=S_n$, а $\Delta$ - дискриминант (у него группа $A_n$) (это из Прасолова Многочлены). С другими группами должно быть аналогично, но я просто не знаю, какие там еще многочлены с группой $G$ используются.


Попробуйте тот метод что я вам описал.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group