Теория массового обслуживания, два потока заявок

[kdm]

Подскажите, как подступиться к этой задачке, пожалуйста.

Найти вероятность того, что из двух независимых потоков Эрланга с интенсивностями \lambda_1, \lambda_2 и порядками $r_1, r_2$ первым поступит требование потока с номером i(i = 1, 2)

[PAV]

Напомните определение, как задаются эти потоки.

[kdm]

Прошу прощения, что долго не отвечал, Новый год =)
Всех с наступившим!

Поток Эрланга k-го порядка — это поток случайных событий, получающийся, если в простейшем случайном потоке сохранить каждое k-е событие, а остальные отбросить

А простейший поток - это собственно: однородный стационарный поток без последействий.

Ну и число n событий такого потока, выпадающих на интервал x, распределено по Закону Пуассона:

$$P(n, x) = \frac {(\lambda x)^ne^{-\lambda x}} { n!}$$

[PAV]

Два шага. Сначала определите распределение времени от начала наблюдения до поступления первой заявки для каждого из потоков.

После этого у Вас есть две независимые с.в. $X_1$ и $X_2$ с известными распределениями и требуется определить вероятность события $P(X_1<X_2)$. Двойной интеграл от совместной плотности по соответствующей области.

[kdm]

Спасибо

Я нашел тут ответ, к ней:
q_1 = (\frac {\lambda_1 r_1} {\lambda_1 r_1 + \lambda_2 r_2})^{r_1}\sum\limits_{i = 0}^{r_2-1} C_{i+r_1-1}^i(\frac {\lambda_2 r_2} {\lambda_1 r_1 + \lambda_2 r_2})^i
q_2 = 1 - q_1

И тут напрашиваются некие ассоциации с формулой Бернулли, только непонятно пока как это объяснить грамотно:
Видимо,

$$p = (\frac {\lambda_1 r_1} {\lambda_1 r_1 + \lambda_2 r_2})$$

- это вероятность поступления из двух потоков, требования потока с номером 1,
а

$$q = 1 - p = (\frac {\lambda_2 r_2} {\lambda_1 r_1 + \lambda_2 r_2})$$

- видимо, вероятность не наступления этого события

Но вот, что делать дальше, чтобы прийти к ответу не совсем понятно..

[PAV]

Через Бернулли тоже можно порассуждать. Временная ось разбивается на малые промежутки, длина которых потом устремится к нулю. В каждом промежутке может произойти или не произойти событие от каждого из потоков, а вероятность наступления двух или более событий есть бесконечно малая более высокого порядка, чем длина интервала. Простейший поток должен хорошо так описываться, ну и к своей ситуации скорее всего можно это применить.

kdm в сообщении #277468 писал(а):

Видимо,

$$p = (\frac {\lambda_1 r_1} {\lambda_1 r_1 + \lambda_2 r_2})$$

- это вероятность поступления из двух потоков, требования потока с номером 1,

Точнее, это больше похоже на условную вероятность того, что требование поступит от первого потока при условии, что поступило какое-то требование.

-- Пн янв 04, 2010 20:48:18 --

Но вообще лучше бы не подгонять рассуждение под ответ, а грамотно делать его независимо, а ответ использовать только для проверки.

[PAV]

Формула получается из следующего рассуждения. Если делать так, как я предложил, т.е. делить временную ось на "кванты", то должно $r_1$ раз наступить событие из первого потока, но при этом может до $r_2-1$ раз наступить событие из второго потока (количество таких событий и обозначает переменная $i$).

[kdm]

Спасибо большое, разобрался!