Тянет ли такая задача на олимпиадную?

[Ales]

А вообще, какими должны быть "олимпиадные" задачи?

-- Ср дек 30, 2009 22:52:36 --

Nilenbert в сообщении #276581 писал(а):

age в сообщении #276491 писал(а):

Надо чтобы $x,y,z,u$ - были хотя бы различными. (Я уже не говорю про то, чтобы плюс натуральными).

Легко. берём $x=a(a^5+b^5+c^5)$,$y=b(a^5+b^5+c^5)$, $z=c(a^5+b^5+c^5)$, $u=(a^5+b^5+c^5)^3$. Например, при $a=1$, $b=2$, $c=3$:

$$ 276^5+552^5+828^5=21024576^2 $$

А есть ли решение без общего делителя?

[RIP]

Ales в сообщении #276583 писал(а):

А есть ли решение без общего делителя?

Есть: $41^5+115^5+133^5=248687^2$. Числа $x,y,z,u$ даже попарно взаимно просты. Бесконечность (или конечность) множества таких решений уже тянет на олимпиадную задачу.

[Ales]

RIP в сообщении #276617 писал(а):

Ales в сообщении #276583 писал(а):

А есть ли решение без общего делителя?

Есть: $41^5+115^5+133^5=248687^2$. Числа $x,y,z,u$ даже попарно взаимно просты. Бесконечность (или конечность) множества таких решений уже тянет на олимпиадную задачу.

А способ решения?

[RIP]

Ales в сообщении #276624 писал(а):

А способ решения?

Не знаю.

[Профессор Снэйп]

Nilenbert в сообщении #276581 писал(а):

Легко. берём $x=a(a^5+b^5+c^5)$,$y=b(a^5+b^5+c^5)$, $z=c(a^5+b^5+c^5)$, $u=(a^5+b^5+c^5)^3$.

Ага. И отсюда бесконечно много решений сразу появляется... Да, это действительно просто.

Но я так понимаю, что в подобных задачах обычно требуется найти все решения. И вот как здесь все решения искать?

-- Чт дек 31, 2009 08:05:36 --

Ales в сообщении #276624 писал(а):

А способ решения?

У олимпиадных задач нет заранее известных способов решения, на то они и олимпиадные

[migmit]

Профессор Снэйп в сообщении #276641 писал(а):

У олимпиадных задач нет заранее известных способов решения, на то они и олимпиадные

У олимпиадных задач всегда есть заранее известный способ решения, просто олимпиадникам о нём не говорят.

[Ales]

RIP в сообщении #276629 писал(а):

Ales в сообщении #276624 писал(а):

А способ решения?

Не знаю.

Но как же тогда Вы нашли решение? Подбором?

[RIP]

Ales в сообщении #276692 писал(а):

Но как же тогда Вы нашли решение? Подбором?

Я попросил компьютер: он железный, для него это раз плюнуть.

[Ales]

Турнир имени Ломоносова. Конкурс по математике. 1994

Задача 1: (7–9) Во время бала каждый юноша танцевал вальс с девушкой либо более красивой, чем на предыдущем танце, либо более умной, а хотя бы один — с девушкой одновременно более красивой и более умной. Могло ли такое быть? (Юношей и девушек на балу было поровну.)

Задача 2: (7–9) На плоскости даны 2 окружности, одна внутри другой. Циркулем и линейкой построить такую точку O, что внешняя окружность получается из внутренней растяжением с центром в точке O. («Растяжение (или гомотетия с положительным коэффициентом) с центром в точке O" означает преобразование плоскости, оставляющее точку O и все проходящие через нее прямые на месте и изменяющее все расстояния в одно и то же число раз.)

Задача 3: (7–9) В Простоквашинской начальной школе учится всего 20 детей. У любых двух из них есть общий дед. Докажите, что у одного из дедов в этой школе учится не менее 14 внуков и внучек.

-- Чт дек 31, 2009 13:09:39 --

RIP в сообщении #276696 писал(а):

Ales в сообщении #276692 писал(а):

Но как же тогда Вы нашли решение? Подбором?

Я попросил компьютер: он железный, для него это раз плюнуть.

Тогда это надо спрашивать на экзамене.

[age]

Nilenbert в сообщении #276581 писал(а):

age в сообщении #276491 писал(а):

Надо чтобы $x,y,z,u$ - были хотя бы различными. (Я уже не говорю про то, чтобы плюс натуральными).

Легко. берём $x=a(a^5+b^5+c^5)$,$y=b(a^5+b^5+c^5)$, $z=c(a^5+b^5+c^5)$, $u=(a^5+b^5+c^5)^3$. Например, при $a=1$, $b=2$, $c=3$:

$$ 276^5+552^5+828^5=21024576^2 $$

Начинается!
Нет, раз вы начинаете "жульничать", сформулирую точно:
Найти параметризацию, дающую примитивные решения уравнения $x^5+y^5+z^5=u^2$ такие, что все четыре числа $x,y,z,u$ одновременно не могут иметь общий множитель $p$.