Броуновское движение

[Gortaur]

Помогите советом. Есть броуновское движение, начинается в 0. $a<0,b>0$. Пусть $B_T = b$. Найти вероятность, что $B_t > a, t\in [0,t]$. Напрямую даже не знаю как подступиться.

[PAV]

Возможно, есть более правильный подход, но по-моему Вам может помочь следующее. В книге Булинский А.В., Ширяев А.Н. — Теория случайных процессов в главе III обсуждаются некоторые свойства броуновского движения. В частности, выводится (стр. 88, теорема 7) совместное распределение пары $(B_T,M_T)$, где $M_T$ - максимум на $t\in[0,T]$. По-моему, отсюда Вы сможете явно решить свою задачу.

-- Ср дек 30, 2009 10:59:44 --

Также почитайте рассуждения на стр. 100-101, они тоже могут помочь.

[Henrylee]

Gortaur в сообщении #276285 писал(а):

Пусть $B_T = b$.

Равно почти наверное? Т.е. $B_t$ это условный винеровский процесс?

Gortaur в сообщении #276285 писал(а):

Найти вероятность, что $B_t > a , t\in [0,t]$.

Неонятно, может $t\in[0,T]$? И вероятность, что неравенство выполняется при любом таком $t$? Или при некотором?

[PAV]

Я так понял, что речь идет об условном процессе и подразумевалось действительно $t\in[0,T]$, при всех $t$ (т.е. траектория не заходит ниже уровня $a$).

[Gortaur]

Да, разумеется, я опечатался.
Полная постановка такая:
$T_a = \inf\{t>0:B_t = a\}$. Его распределение мне известно, могу написать. Нужно для любых $a<0,b>0$ найти $P[T_a<T_b]$. Так как не знаю, зависимы ли эти события, приходится решать сложно. А именно, я хочу найти распределение $T_a$ при условии, что $B_{t1}=b$. Далее проинтегрировать это по плотности распределения $T_b$ и получить ответ.

Таким образом, я фиксирую $B_{t1}=b$ и хочу найти вероятность того, что $B_t > a \forall t\in [0,t1]$. Здесь собственно проблема, потому что подход через дискретное случайное блуждания не легок, а напрямую решить не получается.

2PAV
Спасибо, книга такая есть, посмотрю. Если у кого-нибудь есть другие предложения или советы - с радостью почитаю! Как только решу задачу, отпишу о результатах - они обещают быть интересны.

[PAV]

Такая задача вроде как там просто в точности рассматривается на стр. 100-101 (сравните также с дискретным случаем на стр. 120). Там есть и ссылки на мартингальную технику, позволяющую сделать это еще проще. И вообще тут аналогия с дискретным случаем очень ясная и перенос должно быть несложно сделать.