Доказать, что хотя бы одно из трех чисел составное

[Makcimm]

Доказать, что при любом n принадлежащем N, хотя бы одно из трех чисел n,n+100,n+200 является составным.

[Sasha2]

Да очень просто, если n меньше 100, то одно из этих n, n+100, n+200 (делится на три).
А если больше, то точно таким же макаром отняв от n сотню, показываем, что из трех чисел m+100, m+200 и m+300 (где 100=<m<200) одно делится на три. И так далее.

[Алексей К.]

Рассмотрите варианты $n=3k$, $n=3k+1$, $n=3k+2$. Тогда либо n, либо n+100, либо n+200 делится на...
Отдельно рассмотрите случай $n=3$.

[Батороев]

Одно из трех последовательных членов арифметической прогрессии натуральных чисел обязательно делится на 3.

[Maslov]

Батороев в сообщении #276298 писал(а):

Одно из трех последовательных членов арифметической прогрессии натуральных чисел обязательно делится на 3.

А это почему? Например, 1, 4, 7, ...

[Батороев]

Забыл упомянуть, что при разности арифметической прогрессии, не кратной 3.

-- Вт дек 29, 2009 21:28:29 --

"Сам для себя" держу доказательство этого факта в таком виде:

Для трех последовательных членов арифметической прогрессии имеем такое соотношение:
$ a_i\cdot a_{i+2}=a_{i+1}^2-r^2$,

следовательно, произведение этих членов равно:
$a_{i}\cdot a_{i+1}\cdot a_{i+2}= a_{i+1}\cdot (a_{i+1}^2-r^2)$.

При разности арифметической прогрессии $r\not \equiv 0\pmod 3$,
либо число $a_{i+1}$, либо скобка должны делится на $3$
(т.к. квадраты натуральных чисел, не кратных $3$, все имеют остаток $1\pmod 3$).

Коль скоро, произведение трех чисел делится на $3$, следовательно, одно из этих чисел также делится на $3$.

[Профессор Снэйп]

Да и вообще при произвольных натуральных $n,d > 1$ одно из чисел $n$, $n+d$, $n+2d$ всегда составное (за исключением единственного случая $3$, $5$, $7$).

-- Вт дек 29, 2009 21:57:14 --

Ну и ладно. Подумаешь, ошибся!..