Найти ОМП - проблема с индикатором

[LLIAMAH90]

Осталось решить этот пример для зачета, что-то я не понимаю, чего хочет препод.
$ p(x,\theta)=\left\{ \begin{array}{l} \frac 1 {2xa}, x \in [exp(-a), 1]\\ \frac 1 {2xb}, x \in [1, exp(b)]\\ 0, x \notin [exp(-a), exp(b)], \end{array} \right. \theta=(a, b) $
Соответственно, написал функцию правдоподобия:
$ L(\overline x, \theta)=\prod\limits_{i=1}^n {p(\overline x_i, \theta)}*\bigl{1}_{\left\{x \in [exp(-a), exp(b)]\right\}} = \prod\limits_{i=1}^n {\frac 1 {2xa}}*\bigl{1}_{\left\{x \in [exp(-a), 1]\right\}}+\prod\limits_{i=1}^n {\frac 1 {2xb}}*\bigl{1}_{\left\{x \in [1, exp(b)]\right\}} $
где цифра "1" - это индикатор, не нашел в TeX для него тэга. До этого момента все верно, проверено преподавателем.
Далее обычно по алгоритму идет логарифмирование функции правдоподобия, но в данном случае индикатор этого сделать не дает. Поэтому нужно решать иначе. Я предполагал, что нужно как можно больше сделать первый промежуток для x: $x \in [exp(-a), 1]$ и наоборот уменьшить второй $x \in [1, exp(b)]$, потому что в функции правдоподобия у нас произведение и умножение на число меньшее единицы, естественно, уменьшает его. Однако преподаватель почему то совсем не обращает внимание на это, но обращает внимание на $\prod\limits_{i=1}^n {p(\overline x_i, \theta)*\bigl{1}_\left\{x \in [exp(-a), exp(b)]\right\}$, мол, при каких a и b промежуток для индикатора максимален. Мне кажется, я его не до конца понял.
Поэтому прошу помощи подсказать, что же делать с такой функцией и наметки как решать дальше?
Спасибо.

[--mS--]

LLIAMAH90 в сообщении #275891 писал(а):

Соответственно, написал функцию правдоподобия:

$$ L(\overline x, \theta)=\prod\limits_{i=1}^n {p(\overline x_i, \theta)}*\bigl{1}_{\left\{x \in [exp(-a), exp(b)]\right\}} = $$

$$=\prod\limits_{i=1}^n {\frac 1 {2xa}}*\bigl{1}_{\left\{x \in [exp(-a), 1]\right\}}+\prod\limits_{i=1}^n {\frac 1 {2xb}}*\bigl{1}_{\left\{x \in [1, exp(b)]\right\}}$$

где цифра "1" - это индикатор, не нашел в TeX для него тэга. До этого момента все верно, проверено преподавателем.

Функция правдоподобия записана неверно. Все индикаторы зависят от какого-то $x$, который не является аргументом $L(\overline x, \theta)$, но совершенно не зависит от выборки. Кстати, буквой $L$ обычно логарифмическая ф.п. обозначается. Сначала запишите правильно ф.п.

Да, кстати: как произведение плотностей превратилось в сумму двух произведений?

[LLIAMAH90]

По обозначению: конкретно у нас используется L, даже в учебнике, хотя по интернету я видел что по-другому. А логарифмическая ф.п. у нас LL, как то так. Если надо по-другому - без проблем, скажите как.
В произведение оно превратилось потому что ведь всегда будет получатся, что один из членов равен нулю, области по иксу не пересекаются. Единственно, непонятно, какую функцию брать в единице - первую или вторую? Самый простой вариант - первую, наверное так.

По ф.п.. Не понимаю, как еще ее можно записать. Может так?
$ L(\overline x, \theta)=\prod\limits_{i=1}^n {p(\overline x_i, \theta)}*\bigl{1}_{\left\{\overline x_i \in [exp(-a), exp(b)]\right\}} = \prod\limits_{i=1}^n {\frac 1 {2xa}}*\bigl{1}_{\left\{\overline x_i \in [exp(-a), 1]\right\}}+\prod\limits_{i=1}^n {\frac 1 {2xb}} * \bigl{1}_{\left\{\overline x_i \in [1, exp(b)]\right\}} $
Про сумму не скажу, но про $ L(\overline x, \theta)=\prod\limits_{i=1}^n {p(\overline x_i, \theta)}*\bigl{1}_{\left\{\overline x_i \in [exp(-a), exp(b)]\right\}}$ преподаватель сказал, что верно. Может я что-то упускаю?

[--mS--]

Н-да... Выборка состоит из элементов $x_1,\ldots, x_n$? Что там за чёрточки над $x_i$ и зачем?
Если

$$p(x, \theta) = \frac{1}{2ax} \cdot I(e^{-a}\leqslant x \leqslant 1) + \frac{1}{2bx} \cdot I(1 < x \leqslant e^b), $$

то $p(x_i, \theta)$ получается заменой всех вхождений $x$ в правой части на $x_i$. Запишите нормально $p(x_1, \theta)$ и $p(x_2, \theta)$ и перемножьте.

LLIAMAH90 в сообщении #276026 писал(а):

Про сумму не скажу, но про $ L(\overline x, \theta)=\prod\limits_{i=1}^n {p(\overline x_i, \theta)}*\bigl{1}_{\left\{\overline x_i \in [exp(-a), exp(b)]\right\}}$ преподаватель сказал, что верно. Может я что-то упускаю?

Преподаватель реабилитирован. Упускаете: $(a+b)(c+d)\neq ac+db$.

[LLIAMAH90]

Так у нас же первое условие идет:
$p(x,\theta)=\frac 1 {2xa}$, если $x \in [exp(-a), 1]$;
$p(x,\theta)=\frac 1 {2xb}$, если $x \in [1, exp(b)]$, иначе функция равна нулю. Области пересекаются только в единице, но брать-то надо только одну функцию, беру первую. Поэтому всегда у нас только один икс в одной функции в соответствии с областями. Получается вот так тогда:
$ L(\overline x, \theta)=\prod\limits_{i=1}^n {p(x_i, \theta)}*\bigl{1}_{\left\{x_i \in [exp(-a), exp(b)]\right\}} = \prod\limits_{i=1}^n {({\frac 1 {2xa}}*\bigl{1}_{\left\{x_i \in [exp(-a), 1]\right\}}+{\frac 1 {2xb}} * \bigl{1}_{\left\{x_i \in [1, exp(b)]\right\}})} $
То есть произведение сумм, где один член всегда равен нулю из-за индикатора.
Ну и как уже писал, я предполагал вот что: если $x_i$ в первом промежутке, то делим единицу на число между exp(-a), стремящимся к нулю при $a \to \infty$, и единицей и получаем число больше единицы, все ок. Если же $x_i$ во втором промежутке, то делим единицу на число от 1 и до exp(b), получаем число от нуля до единицы и умножать на такое число совсем не хочется, функция будет уменьшатся. Нам же надо максимальное значение. Поэтому я старался exp(-a) приблизить к нулю, чтобы увеличить возможность попадания иксов в первый промежуток, при этом нельзя брать очень большое a, на него мы тоже делим, а exp(b) приблизить к единице, чтобы уменьшить возможность попадания во второй. Начал объяснять про параметр b, почему и как, преподаватель даже не дослушал, завернул от ворот поворот.
Так я понял этот метод - найти параметры при которых функция правдоподобия максимальна. У нас это a и b. Но кажется я где-то не прав.

Про свое первое неверное произведение все понял, что-то я совсем с ума сошел такое писать .

[--mS--]

LLIAMAH90 в сообщении #276055 писал(а):

Получается вот так тогда:
$ L(\overline x, \theta)=\prod\limits_{i=1}^n {p(x_i, \theta)}*\bigl{1}_{\left\{x_i \in [exp(-a), exp(b)]\right\}} = \prod\limits_{i=1}^n {({\frac 1 {2xa}}*\bigl{1}_{\left\{x_i \in [exp(-a), 1]\right\}}+{\frac 1 {2xb}} * \bigl{1}_{\left\{x_i \in [1, exp(b)]\right\}})} $

Что за $x$ опять участвует в правой части?

По поводу остальных рассуждений: оценкой максимального правдоподобия называется такое значение параметра, при котором достигается максимум функции правдоподобия (при фиксированной выборке). Чтобы при заданной выборке увеличить ф.п., нужно максимально уменьшить $a$ и $b$. Но уменьшать их до нуля не позволят фиксированные $x_1,\ldots,x_n$ - например, $e^{-a}$ не может стать больше, чем самый маленький из тех элементов выборки, которые слева от единицы.

Чтобы рассмотреть ситуацию подробнее, давайте предположим, что $\sum_{i=1}^n I(x_i \leqslant 1) = k$, т.е. ровно $k$ штук элементов выборки лежат слева от 1. При каких $a$ и $b$ достигается тогда максимум ф.п.?

Может быть, для этого полезно иначе записать ф.п. В том произведении, которое равно функции правдоподобия, Вы должны перемножать $1/2$ - сколько раз? $1/x_i$ - все? $1/a$ - сколько раз? $1/b$ - сколько раз?

[LLIAMAH90]

Возьму тайм-аут, поштудирую еще книги и лекции. Числа второго обязательно отпишусь. Спасибо за наводку на мысли.