Какие критерии цикличности группы?

[Voodoo Man]

Добрый вечер!

Вопрос, собственно, такой -- есть ли ещё какие-нибудь утверждения, которые позволяют определить, циклическая группа или нет, кроме непосредственно определения? (вопрос возник по ходу доказательства того, что все группы порядка 15 -- циклические) Гугл пока помог мало, имеющиеся книги по теории групп тоже не пролили свет на этот вопрос.

[RIP]

Для конечных абелевых групп есть такой критерий: конечная абелева группа является циклической тогда и только тогда, когда её экспонента равна её порядку.

(Оффтоп)

С помощью этого критерия легко доказывается такое утверждение: конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической.

Voodoo Man в сообщении #275698 писал(а):

(вопрос возник по ходу доказательства того, что все группы порядка 15 -- циклические)

А это доказывается с помощью теорем Силова.

Подробности можно узнать, например, в "Курсе алгебры" Винберга.

[Voodoo Man]

Что ж, спасибо за совет, хотя конкретно в моём случае неизвестно, что проще -- показать, что все группы 15 порядка коммутативные и применить тот критерий, или же сразу доказывать исходное утверждение. Однако, спасибо за наводку на книгу Винберга!

[Voodoo Man]

RIP в сообщении #275794 писал(а):

Voodoo Man в сообщении #275698 писал(а):

(вопрос возник по ходу доказательства того, что все группы порядка 15 -- циклические)

А это доказывается с помощью теорем Силова.

За этот совет также спасибо, но в прямую использовать теоремы Силова не удастся (не изучали их на лекциях). Возможно, из них можно будет извлечь идею доказательства в этом конкретном случае.

[Voodoo Man]

Снова возник вопрос, на этот раз не такой глобальный, как предыдущий, но имеющий отношение к нему. Можно ли каким-то образом показать, что у группы пятнадцатого порядка $G$ её центр $Z(G)$ не может иметь мощность, равную единице? Если знать уже заранее ответ, что через теоремы Силова группа получается циклической, то предположение сомнения не вызывает, но есть трудности с доказательством. В частности, если пользоваться леммой Бернсайда(да, вроде бы ей), то получим, что $\vert G \vert = \vert Z(G) \vert + \sum_{x \not \in Z(G)} I (G/St(x))$ -- то есть, для оставшихся 14 элементов группы сумма индексов группы по их стабилизатору должен равняться 14 или я превратно понимаю лемму Бернсайда?

Хм, уже сам понял, что сморозил ерунду в индексе суммы в формуле Бернсайда.