2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Какие критерии цикличности группы?
Сообщение27.12.2009, 18:23 
Добрый вечер!

Вопрос, собственно, такой -- есть ли ещё какие-нибудь утверждения, которые позволяют определить, циклическая группа или нет, кроме непосредственно определения? (вопрос возник по ходу доказательства того, что все группы порядка 15 -- циклические) Гугл пока помог мало, имеющиеся книги по теории групп тоже не пролили свет на этот вопрос.

 
 
 
 Re: Какие критерии цикличности группы?
Сообщение27.12.2009, 22:34 
Аватара пользователя
Для конечных абелевых групп есть такой критерий: конечная абелева группа является циклической тогда и только тогда, когда её экспонента равна её порядку.

(Оффтоп)

С помощью этого критерия легко доказывается такое утверждение: конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической.

Voodoo Man в сообщении #275698 писал(а):
(вопрос возник по ходу доказательства того, что все группы порядка 15 -- циклические)
А это доказывается с помощью теорем Силова.

Подробности можно узнать, например, в "Курсе алгебры" Винберга.

 
 
 
 Re: Какие критерии цикличности группы?
Сообщение27.12.2009, 23:39 
Что ж, спасибо за совет, хотя конкретно в моём случае неизвестно, что проще -- показать, что все группы 15 порядка коммутативные и применить тот критерий, или же сразу доказывать исходное утверждение. Однако, спасибо за наводку на книгу Винберга!

 
 
 
 Re: Какие критерии цикличности группы?
Сообщение28.12.2009, 02:00 
RIP в сообщении #275794 писал(а):


Voodoo Man в сообщении #275698 писал(а):
(вопрос возник по ходу доказательства того, что все группы порядка 15 -- циклические)
А это доказывается с помощью теорем Силова.



За этот совет также спасибо, но в прямую использовать теоремы Силова не удастся (не изучали их на лекциях). Возможно, из них можно будет извлечь идею доказательства в этом конкретном случае.

 
 
 
 Re: Какие критерии цикличности группы?
Сообщение11.01.2010, 07:59 
Снова возник вопрос, на этот раз не такой глобальный, как предыдущий, но имеющий отношение к нему. Можно ли каким-то образом показать, что у группы пятнадцатого порядка $G$ её центр $Z(G)$ не может иметь мощность, равную единице? Если знать уже заранее ответ, что через теоремы Силова группа получается циклической, то предположение сомнения не вызывает, но есть трудности с доказательством. В частности, если пользоваться леммой Бернсайда(да, вроде бы ей), то получим, что $\vert G \vert = \vert Z(G) \vert + \sum_{x \not \in Z(G)} I (G/St(x))$ -- то есть, для оставшихся 14 элементов группы сумма индексов группы по их стабилизатору должен равняться 14 или я превратно понимаю лемму Бернсайда?

Хм, уже сам понял, что сморозил ерунду в индексе суммы в формуле Бернсайда.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group