Помогите с задачками

[Makarena]

1)Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд относительно параметра а.
$\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(2n)ln^2(n)}{n^a}$
2)Исследовать на равномерную сходимость на множесте E ряд
$\sum_{n=1}^\infty\frac{sinxsin{nx}}{\sqrt {n+x^2}}$
где E = R
3)Определить область E существования функции и исследовать её на диффиринцируемость во внутренних точках E.
$f(x)=\sum_{n=2}^\infty\frac{cos(nx)}{nln^2{n}}$
4)вычислить интеграл
$\int\int_V\int{xydxdydz}, где V = \{(x,y,z) | x^2+y^2 \le1, 0\lez\le1,x\ge0,y\ge0\}$ (значёк V находится под 2м знаком интеграла, не знаю как это записать)
5)Найти объём тела, ограниченного поверхностями.
$x^2+y^2=ay, z=xy,z=0(x>0)$
6)Найти поток векторного поля F через поверхность S к внешней нормали
$F=2x\cdot i - y\cdot j +z\cdot k, S = \{x^2+y^2+z^2\le4, 3z\le x^2+y^2\}$

Очень хотелось бы услышать хотябы 1ю ступеньку в решении этих задачек.

[Makarena]

В 1м как я понимаю, надо действовать так:
сначала рассмотрим условную сходимость.
разделим дробь на 2: $\frac{sin2n}{2n}$ и $\frac{2ln^2(n)}{n^{a-1}}$
получим, что по признаку абеля 1я штука сходится, а 2я ограничена если a-1 будет равна 2, т.е при $a\ge 3$ получим, что условная сходмость выполнена.
что же касается абсолютной - я так понимаю, что синус сразу можно отбросить, и у нас останется 2я дробь, где в итоге просто $a \ge 2$

Почему-то бред получается, т.е поидее условная сходимость тут должна быть при меньших a, чем абсолютная

[RIP]

Задача 2 решается так же, как и эта.

-- Вс 27.12.2009 21:25:12 --

Makarena в сообщении #275657 писал(а):

сначала рассмотрим условную сходимость.

Не условную, а просто сходимость. Условная --- это когда просто сходимость есть, а абсолютной нет.

Makarena в сообщении #275657 писал(а):

разделим дробь на 2: $\frac{sin2n}{2n}$ и $\frac{2ln^2(n)}{n^{a-1}}$

Лучше $\sin2n$ и $\frac{(\ln n)^2}{n^a}$. Далее признак Дирихле (для док-ва сходимости). Не забудьте также доказать расходимость при остальных значения $a$.

Makarena в сообщении #275657 писал(а):

по признаку абеля 1я штука сходится

Только, наверно, не Абеля, а Дирихле.

Makarena в сообщении #275657 писал(а):

2я ограничена если a-1 будет равна 2, т.е при $a\ge 3$

2я штука ограничена при любых $a-1>0$, поскольку логарифм растёт медленнее любой положительной степени.

Makarena в сообщении #275657 писал(а):

что же касается абсолютной - я так понимаю, что синус сразу можно отбросить,

Это, конечно, так, но это надо доказывать. В этом Вам поможет, например, стандартный трюк $|\sin2n|\ge(\sin2n)^2=1/2-1/2\cos4n$.

-- Вс 27.12.2009 21:40:03 --

Makarena в сообщении #275548 писал(а):

3)Определить область E существования функции и исследовать её на диффиринцируемость во внутренних точках E.
$f(x)=\sum_{n=2}^\infty\frac{cos(nx)}{nln^2{n}}$

С нахождением области существования проблем быть не должно, а вот с дифференцируемостью ситуация посложнее. При $x\notin2\pi\mathbb Z$ это делается с помощью стандартной теоремы (ряд из производных сходится равномерно в некоторой окрестности точки $x$), но при $x\in2\pi\mathbb Z$ исследовать дифференцируемость --- гиблое дело.

[Makarena]

ой спасибо вам огромное за помощь

[RIP]

Да, ещё забыл сказать про Ваше "решение" 1.

Makarena в сообщении #275657 писал(а):

и у нас останется 2я дробь, где в итоге просто $a \ge 2$

Почему $a\ge2$? На самом деле $a>1$.

[Makarena]

да мне даже стыдно за ту ошибку которую я там сделал, да, там конечно же а больше единицы