Доказать существование последовательности.

[Fraktalius]

Поставлена задача:
Доказать существование последовательности $ f_n $ , такой, что $ \forall k $
$ \frac {f_{k+1}} {f_{k}} = 2 sin(x+ \frac {\pi k} n) $
$ \frac {f_n} {f_1} = \frac {sin nx} {sin x} $
, где n=const.
Разумеется, это частный случай задачи:
Существует ли последовательность $f_n$ , такая, что
$ \frac {f_i} {f_j} = a_1 $
$ \frac {f_n} {f_m} = a_2 $
$ .............. $
, где каждое условие - равенство отношения двух (возможно, соседних) членов последовательности и некоторой функции от их номеров.
Можно ли найти такую последовательность?

Вот, интересны мысли по этому поводу.

[RIP]

По поводу частного случая: http://dxdy.ru/topic17042.html

[Fraktalius]

Да, я там и сам отписался. Но проблема-то в общем случае. Никто не слышал о подобных методах, или это что-то новое?