Переходя к полярным координатам найти объем тела...

[ewert]

Это -- гамма-функция. И она в ответе действительно появится, и никуды от неё не денешься, увы.

[ИС]

=((( эт очень не хорошо... нам про нее ничего не говорили вообще (
Прочитал про нее в википедии и совершенно не представляю как найти первообразную с ее помощью...
Походу мне нужно знать для этого только вид производной от этой функции? подскажите пожалуйста как быть.

[ewert]

Там у Вас по ходу дела выплывет

$$\int_0^{\pi\over2}\sqrt{\sin\varphi\cdot\cos\varphi}\,d\varphi=\int_0^1\sqrt{t\cdot\sqrt{1-t^2}}\,{dt\over2\sqrt{1-t^2}}=\int_0^1x^{1/4}\cdot(1-x)^{-1/4}\,{dx\over2\sqrt x}=$$ $$={1\over2}\int_0^1x^{-1/4}\cdot(1-x)^{-1/4}\,dx={1\over2}\,B\left({3\over4},{3\over4}\right)={\Gamma\left({3\over4}\right)\cdot\Gamma\left({3\over4}\right)\over2\,\Gamma\left({3\over4}+{3\over4}\right)}\;,$$

, где $\Gamma({3\over2})={1\over2}\,\sqrt{\pi}$. Что примерно то же, что в Вашем ответе и есть.

И никак этого не упростишь.

Нехорошо давать детям такие задачки.

[ИС]

А задачник демидовича(для вузов) не считается детским?

[meduza]

(Оффтоп)

ИС в сообщении #275529 писал(а):

А задачник демидовича(для вузов) не считается детским?

У задачника есть старые (ок. 60-70 гг) и новые издания (90-е годы); первые более общие, для втузов, вторые же -- только для математических и физических специальностей, они более строгие и там встречаются нехорошие задачки типа этой.

[ewert]

(Оффтоп)

Задачка-то нормальная; смотря только кому её давать и в каком режиме.

Если действительно народ не проходил гамма- и тем более бета-функцию, то предлагать такие задачки просто неприлично.

А такое, что не проходят -- бывает, к сожалению. Я регулярно спрашиваю у студентов второго-третьего курса: слышали ли они, мол, про гамма-функцию?... Обычно очень уверенно и хором отвечают: нет, слыхом не слыхали. Тогда я жертвую (обычно это бывает в рамках ТВ или ТФКВ) минут 20 и быстренько даю им сводку основных фактов. Нехорошо, конечно, но и предшественников понять можно: программы-то всё режут, режут...